Caractérisation des diviseurs de 24

Résumé du document

Document prouvant la caractérisation des diviseurs de 24 comme étant les entiers tels que dans le groupe des inversibles de l'anneau Z/dZ, tous les éléments sont involutifs.

Extraits

[...] Or son ordre n'est autre que l'indicateur d'Euler de n. Ainsi, si : r Y p i ri i=1 est la d´ecomposition de n en facteurs premiers, on sait qu'on a : φ(n) = r Y pri i (pi i=1 Mais maintenant, φ(n) ´etant une puissance de chaque facteur du produit de la formule est une puissance de 2. C'est-`a-dire : les pi sont des nombres premiers de la forme 2ki + 1 si de plus ki alors ri = 1 Il en r´esulte que n s'´ecrit forc´ement n = 2k p1 p pr u les pi sont des nombres premiers deux deux non associ´es de la forme d´ecrite en et Grˆace au Th´eor`eme des Chinois, on a alors l'isomorphisme : Un ' (Z/2k (Z/p1 (Z/p2 . [...]

[...] L'entier 2k 3 est inversible modulo 2k , et on a l'identit´e : (2k 3)2 = 22k 6.2 k + 9 dont on d´eduit que la classe de 2k 3 modulo 2k n'est pas d'ordre 2 car son carr´e est congru et pour k [...]

[...] Une caract´erisation des diviseurs de 24 J.-Y. Degos∗ D´ecembre 1993 eor` eme : Les diviseurs positifs de 24 sont les entiers n tels que, dans l'anneau Z/nZ, tous les ´el´ements inversibles sont involutifs, c'est-`a-dire sont leur propre inverse, c'est-`a-dire que n v´erifie la propri´et´e suivante : xy = 1 x = y Preuve : Si n est un diviseur positif de 24 (i.e. n { on a vite fait de s'assurer que la propri´et´e est vraie. R´eciproquement, soit n un entier satisfaisant la propri´et´e montrons que c'est un diviseur de 24. [...]