Le calcul vectoriel pour la physique

Résumé du document

Cours de Mathématiques, illustré de schémas, sur le calcul vectoriel orienté vers la résolution de problèmes de physique, reprenant les bases et approfondissant sur quelques notions : le produit scalaire, le produit vectoriel, le produit mixte et les fonctions vectorielles.

Extraits

[...] Calcul vectoriel Dans le plan Définitions Bipoint d'origine A et d'extrémité B. La droite est le support. B A est la norme. Direction : ensemble de droites parallèles (correspond à deux sens). Bipoints équipollents : équipollent à même direction, même sens, même norme ABCD parallélogramme Un ensemble de bipoints équipollents est un VECTEUR (classe d'équivalence de bipoints équipollents). Tout bipoint de la classe est un représentant du vecteur. Notation : Un vecteur de norme 1 est un vecteur unitaire. Deux vecteurs de même direction sont dits colinéaires. [...]

[...] sont les composantes (ou coordonnées) du vecteur (dans la base On note alors : Si BASE NORMEE. Si, de plus, ils sont orthogonaux deux à deux BASE ORTHONORMALE Orientation : trièdre est dit DIRECT ou INDIRECT Remarque : L'orientation est invariante par permutation circulaire. direct et renversée si on permute deux vecteurs. aussi, mais l'orientation est Repère : Fixons pour origine O à partir de laquelle on représente les vecteurs Alors, donné est un repère de l'espace. A tout point M de l'espace, on fait correspondre tel que : On a alors, d'après le théorème de Pythagore, quand la base est orthonormale, Produit scalaire Le produit scalaire dans l'espace est toujours défini par : Les propriétés dans l'espace du produit scalaire sont les mêmes que celles qui s'appliquent dans le plan . [...]

[...] Alors : Produit scalaire Le produit scalaire ( Propriétés : ) est noté , et est égal à , la Bilinéarité : _ _ _ Carré d'un vecteur : II/ Dans l'espace Combinaisons linéaires : Est une somme de vecteurs coefficientés, c'est-à-dire . _ { partir d'un vecteur non nul : les combinaisons linéaires sont de la forme avec IR. Elles engendrent une droite vectorielle, avec comme vecteur directeur. Elle correspond à une infinité de droites affines. _ à partir de deux vecteurs non-colinéaires : une combinaison linéaire sera de la forme . Ces combinaisons linéaires vont engendrer un plan vectoriel. Soit trois vecteurs de l'espace. [...]

[...] Ils sont donc coplanaires. Propositions : _ Il existe des familles libres de trois vecteurs admis. _ Toute famille de quatre vecteurs ou plus est liée. _ Trois est le maximum de vecteurs libres dans l'espace visuel la DIMENSION . Conséquence : Toute famille de trois vecteurs libres est une BASE. Tout vecteur de E s'écrit de façon unique comme combinaisons linéaires de ces trois vecteurs : BASE de E Pour tout que : il existe trois réels tels . [...]

[...] _ 2 points A et B One en déduit une équation paramétrique de D : _ Un point A et un vecteur directeur : _ Intersection de deux plans : VII/ Fonctions vectorielles d'une variable réelle Définition : Une fonction vectorielle fait correspondre à un réel un vecteur : Exemple : temps position (ou vitesse ou accélération) On peut définir Traduction analytique : , Dans un repère : est définie par trois fonctions numériques Dérivée : Définition classique : Soit . une valeur et h un accroissement. Condidérons . C'est un vecteur dépendant de Si existe, on note la dérivée Remarque : quand h 0 signifie que : La fonction vectorielle t est la dérivée de t a pour dérivée : ou . FORMULES : Exemple : Dans un mouvement à accélération centrale trajectoire dans un plan. donc Donc Ainsi, est constant. [...]