Calcul des probabilités

Thèmes abordés

Mathématiques, probabilités, évènement, tribu d'évènements, formule, Thomas Bayes, probabilités conditionnelles, arbre pondéré, probabilités totales, expérience aléatoire, ensemble, évènement impossible, évènement certain, hasard, formule de Bayes

Résumé du document

Au terme de ce document, l'étudiant qui se sera appliqué sera capable de :
- définir un événement, une probabilité et d'énumérer les axiomes de base d'une tribu d'évènements ;
- d'appliquer l'axiomatique d'une tribu d'évènements et la définition d'une probabilité pour résoudre les exercices d'application et certains exercices et problèmes d'approfondissement y relatifs ;
- de définir les concepts de probabilités conditionnelles et de reconnaitre le type des problèmes que ces concepts modélisent ;
- de distinguer la Formule des probabilités totales de celle de Thomas Bayes : de reconnaitre les problèmes que modélisent les probabilités conditionnelles et de les représenter par un arbre pondéré, et de reconnaitre et de résoudre les exercices d'applications et certains problèmes d'approfondissement relatifs aux formules de Probabilités totales et celle de Thomas Bayes.

Extraits

[...] Quelle est la probabilité que l'élève choisi soit fumeur ? Comme on peut le voir dans la résolution de la question il arrive que la réalisation d'un Évènement modifie la probabilité de la réalisation de l'autre. Cette situation conduit naturellement à l'importante notion de probabilité conditionnelle. Définition 3 : Considérons A un Évènement de probabilité non nulle. La probabilité conditionnelle de réaliser un Évènement B sachant que A est réalisé se note PA(B) et on a la relation : Remarque 2 : De manière générale, pour deux Évènements A et B des probabilités non nulles, PA(B) PB(A). [...]

[...] Le jet d'une pièce de monnaie est une expérience aléatoire dont l'ensemble fondamental est Ohm = {pile, face} Si l'expérience consiste en deux jets successifs d'une pièce de monnaie, l'ensemble fondamental : est Ohm = Suivant la même logique, deux jets successifs d'un dé équilibré correspondent à l'ensemble fondamental : Ohm = ···, Pour cet ensemble fondamental, l'issue correspond à l'obtention du numéro i pour le premier jet et du numéro j pour le second. A l'expérience consistant à mesurer le temps de fonctionnement d'un ordinateur avant que ne survienne la première panne correspond l'ensemble fondamental Ohm = +infinity [ Certains faits liés pour toute expérience aléatoire peuvent ou ne pas se produire. On les appelle Évènements. Il est connu que pour toute expérience aléatoire, laquelle est associée l'ensemble fondamental Ohm, un Évènement est toujours un sous-ensemble de l'ensemble fondamental Ohm. [...]

[...] Quelle est la probabilité que la somme obtenue soit différente de 7 ? Exercice 6 : Un auditoire comporte 10 garons dont la moitié a les yeux marron et 20 dont la moitié également a les yeux marrons. Calculer les probabilités p pour qu'une personne tirée au hasard dans cet auditoire soit un garçon ou ait les yeux marrons. Problème 1 Dans une entreprise, il y a 800 employés sont des hommes sont membres d'un syndicat sont mariés sont des hommes syndiqués sont des hommes mariés sont syndiqués et mariés sont des hommes mariés syndiqués. [...]

[...] Si E1 ∩ E2 = ∅ alors les Évènements E1 et E2 sont dits incompatibles. Définition 2 : Pour une expérience aléatoire correspondant à l'ensemble fondamental Ohm, Une tribu des Évènements est un sous-ensemble de l'ensemble P (Ohm) des parties de Ohm tel que : ; On a : On a : Une probabilité sur Ohm, ou plus exactement sur la tribu à des parties de Ohm, est une application telle que : P (Ohm) = P (E1 ∪ E2) = P + P − P (E1 ∩ E2) Si E2,···,En} constitue une famille d'Évènements deux incompatibles (i.e Ei ∩ Ej = ∅, ∀i , alors : Une loi de probabilité sur Ohm = {ω1,ω2,···,ωn} consiste en la donnée d'un tableau de la forme avec ωi ω1 ω2 ··· ωn ··· pi p1 p2 ··· pn ··· n pi ∀i et [X]pi = 1 i=1 Exemple 1 : 1. [...]

[...] Les arguments des uns et des autres sont si convaincants et les électeurs si indécis qu'à l'issue de chaque jour de campagne des Électeurs favorables à la liste A et 30% des Électeurs favorables à la liste B changent d'avis le jour suivant. Donner PAn et PBn Démontrer que P (An+1 ∩ An) = 0.8pn et P (An+1 ∩ Bn) = 0.3qn En déduire grâce la formule des probabilités totales que P = 0.8pn+0.3qn et pn+1 = 0.5pn + 0.3 Considérons la suite de terme général un = pn − 0.6 : Démontrer que est une suite géométrique de raison 0.5. Quelle est sa limite ? En déduire la limite de la suite (pn). Peut-on conjecturer quelle est la liste gagnante ? [...]