Calcul de primitives

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Primitive, fonction réelle, fonction primitive, calcul des intégrales, changement de variables, intégration par partie, primitives de fonctions composées, calcul de primitive, primitives usuelles, dérivées usuelles, fonctions dérivées

Résumé du document

Vous trouverez la plupart des méthodes qui sont utilisées pour calculer des primitives.
Ce document a été fait pour que vous puissiez développer votre sens de l'observation dans le calcul de primitive et donc de résoudre ces calculs plus rapidement.

Extraits

[...] En effet, si jamais vous avez une primitive ` a calculer, je vous recommande fortement, avant de vous lancez dans les calculs, de regarder comment est ”faite” la fonction que vous voulez int´egrer. En d'autre terme, regardez comment elle est construite. [...]

[...] u et v sont de classes C 1 sur R∗+ Z Par la formule d'int´egration par partie, on a I2 = − 1 dx =⇒ I2 = xln(x) − x + C ∈ R Donc S = 7→ xln(x) − x + C ∈ Z ∀x ∈ R , on pose I3 = ln(x + p 1 + x2 ) dx. Les primitives de cette fonction existent bien sur R. [...]

[...] en effet x 7→ ln(x + Z p 1 dx Alors I3 = ln(x + 1 + x2 ) × } ′ v √ 1 On a donc , ∀x ∈ R , = ln(x + x2 + =⇒ u′ = √ 1 + x2 et v ′ = 1 =⇒ = x u et v sont de classes C 1 sur R. Par la formule d'int´egration par partie: Z √ 1 I3 = [xln(x + x2 + - x × √ dx 2+1 x p x Or, ( x2 + 1)′ = √ 2 x √ √ Donc I3 = xln(x + x2 + − x2 + 1 + C ∈ R √ √ Et donc S = x 7→ xln(x + x2 + − x2 + 1 + C ∈ R Pour votre culture g´en´erale, ln(x + √ x2 + = argsh(x) √ x2 + est continue sur R Z On pose ∀x ∈ R , I4 = x Mettons x2 + x + 1 sous forme canonique. [...]

[...] En effet, on remarque que la fonction primitiver est sous la forme 1 u′ u n = 1 et = ln(ln(x)) de d´eriv´ee u′ = xln(x) On a alors S = x 7→ 12 × ln(ln(x))2 + C ∈ R Remarque: · Si x ∈ R∗ \ , la primitive serait donn´e par x 7→ × ln(ln( x Z ∀x ∈ I8 = ex sin x dx Z I8 = ex sin x dx v ′ Pour x ∈ R , on pose = ex =⇒ u′ = ex et v ′ = sin(x) =⇒ = − cos(x) · u et v sont de classes C 1 sur R donc par la formule d'int´egration par partie, on Z I8 = [−ex cos + ex cos dx w′ · z et w sont C 1 sur R Par la formule d'int´egration par partie, I8 = [−ex cos + ⇐⇒ 2 × I8 = ex (sin(x) − cos(x)) ⇐⇒ I8 = ex (sin(x) − cos(x)) , C ∈ R 2 ex × (sin(x) − cos(x)) x 7→ + C ∈ R 2 [ex sin(x)] − Z ex sin x dx Z ex cos(x) dx · ∀x ∈ on pose I9 = On a pas besoin de calculer cette primtive. En effet , elle se d´eduit de la pr´ec´edente. [...]

[...] Cas u β = α Dans ce cas, la forme canonique devient : a(x − α) Z − Alors, dx = × × + C ∈ R a − α)2 a − α) 1 −1 x 7→ × + C ∈ R a − α) Cas u α = Si α = 0 alors b = 0 et β = c donc on √ Z 1 x a 1 √ √ dx = × arctan + C ∈ R ax2 + c ac c Donc S = √ 1 x a x 7→ √ × arctan √ + C ∈ R ac c Remarque: · On peut utiliser la formule g´en´erale dans le cas α = 0 Cas u a = La fonction ` a primitiver devient x 7→ bx + c. [...]