calcul_matriciel_chapitre_3

Thèmes abordés

Calcul_matriciel_chapitre_3

Résumé du document

Dans tout ce chapitre les matrices utilisées seront exclusivement des matrices carrées d'ordre n.

Extraits

[...] Exemple 1 Considérons la matrice : A = Par exemple, le cofacteur de l'élément a32 est : c32 = 2 3+2 det µ 2 = det µ 2 . Développement du déterminant Théorème 2 Si on a : A = (aij ) Mn alors : n n X X j { on a : det(A) = aij .cij ou encore : det(A) = aij .cij . i=1 j=1 Exemple 3 Calculons le déterminant : = 3 3 Méthode 1 : Développons par rapport la première colonne : 3. + 3. = 1. + 3. + + 3. + = 6. = 1. [...]

[...] a0 a00 c c c c b b a a0 a00 soit encore : b b0 b00 = a (b0 c00 b00 c0 ) b (a0 c00 a00 c0 ) + c (a0 b00 a00 b0 c c0 c00 il ne reste plus ensuite qu'à développer puis regrouper les termes pour obtenir le résultat annoncé. a00 b00 c00 a a0 b b0 c c0 Remarque 8 Il faut remarquer µ : det(A + µ que det(A) + det(B). Par exemple, prenons : A = et B = . µ Nous avons : det(A) = det(B) = A + B = et det(A + = 4 det(A) + det(B). III) Cas des matrices carrées inversibles Théorème 4 Soit A Mn et désignons par C la matrice des cofacteurs de la matrice A. [...]

[...] (14 = 6. Nous obtenons : = 1. Remarque 6 Nous avons a a0 b b0 c c0 : a00 b00 c00 = (ab0 c00 + a00 bc0 + a0 b00 (a00 b0 c + a0 bc00 + ab00 c0 ) . = a. d c. b = ad cb. Cette règle est appelée la règle de Sarrus. En effet, développons le déterminant par rapport à la première colonne : 3 Exemple 4 Etudions un cas particulier : la matrice triangulaire supérieure. [...]

[...] det In = 1 où In désigne la matrice unité d'ordre n. Preuve. Ce théorème est admis. Remarque 1 Pour le premier point, on dit que le déterminant est linéaire par rapport à chaque vecteur colonne (les autres vecteurs colonnes étant fixés), on dit alors que le déterminant est une forme n-linéaire; Le second point signifie que le déterminant est une forme alternée. Si la matrice A = M1 nous déduisons du premier et du précédent que : det(A) = a. [...]

[...] Proposition 2 Si une matrice carrée d'ordre n possède deux vecteurs colonnes identiques, alors son déterminant est nul. Preuve. Ce résultat est immédiat compte tenu du second point du théorème du paragraphe précédent. Proposition 3 Considérons une matrice A Mn Si A0 désigne la matrice obtenue à partir de A en ajoutant à une de ses colonnes une combinaison linéaires des autres colonnes de la matrice alors on a : det(A0 ) = det(A) troisième point du théorème a12 a an2 . a1n . a2n sous la . . [...]