calcul_matriciel_chapitre_1

Thèmes abordés

Calcul

Résumé du document

calcul_matriciel
1-les vecteur
2-les vecteur particulier
3-opération sur les vecteur..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Extraits

[...] La multiplication matricielle Dans ce paragraphe nous allons étudier la multiplication de deux matrices. Notons tout de suite que cette multiplication ne sera pas toujours possible et qu'une condition sur les tailles des matrices sera nécessaire. Définition 23 Considérons deux matrices : M = (aij ) Mn,p et N = (bjk ) Mp,q . Le produit de la matrice M par la matrice N sera la matrice de Mn,q , noté M.N définie par : M.N = (cik ) avec : cik p X = aij .b jk . [...]

[...] x1 x Notation 1 Nous noterons : X = 2 un tel vecteur. . xn Nous noterons dim(X) la dimension du vecteur donc ici, nous avons dim(X) = n. Chacun des nombres réels xi sera appelé composante du vecteur par exemple, x1 désignera la première composante du vecteur x2 la seconde composante . Remarque 1 Nous noterons souvent X = (xi ) le vecteur X. dim(X) = dim(Y ) Définition 2 Deux vecteurs X et Y sont égaux si : , où xi et yi . [...]

[...] Supposons que le vecteur X possède deux vevteurs opposés distincts et X X + X1 + X2 = X2 puisque X1 est un opposé de X On a : . X + X1 + X2 = X1 puisque X2 est un opposé de X Par suite on a : X1 = X ce qui contredit notre hypothèse. Par conséquent, il y a unicité de l'opposé. Remarque 3 Nous disons dans ce cas que l'ensemble des vecteurs de dimension n muni de l'addition possède une structure de groupe commutatif ou encore de groupe abélien. [...]

[...] Démontrons le premier résultat à titre d'exemple. Si M1 = (aij M2 = a0 et N = (bjk ) alors on a : M1 + M2 = aij + a0 et par conséquent on ij ij p p p P P 0 obtient : (M1 + M2 ) .N = (cik ) où : cik = ai j .b jk + aij .b jk . ai j + a0 .b jk = ij j=1 j=1 j=1 p M .N = (c0 ) avec : c0 = P a .b 1 ij jk ik ik on en déduit que : (M1 + M2 ) .N = (M1 .N Puisque : p M .N = (c00 ) avec : c0 = P a0 .b 2 jk ij ik ik j=1 Proposition 11 Mn,p et Mp,q on a : λ. [...]

[...] j=1 De plus puisque : λ.M = (dij ) où dij = λaij on obtient : (λ.M ) .N = (eik ) avec : eik = j=1 soit encorep : p P P eik = (λaij ) .b jk = λ aij .b jk = λcik . j=1 j=1 p P dij .b jk , On a donc prouvé que : λ. (M.N ) = (λ.M ) .N De même, puisque : λ.N = (fjk ) avec fjk = λ.bjk on obtient : p p p P P P aij .f jk = aij . (λ.bjk ) = λ aij .b jk = λcik . M. (λ.N ) = (gik ) où gik = j=1 j=1 j=1 On vient donc de démontrer que : λ. [...]