Calcul matriciel

Thèmes abordés

Calcul matriciel, Puissance, matrices carrées, scalaire, matrice colonne, Formule sommatoire

Résumé du document

(Matrice-ensemble des matrices). Une matrice de taille
(n ; p) à coefficients dans K est un tableau rectangulaire dont les éléments
sont dans K.
...On ne peut calculer AB que si le nombre de colonnes de A est égal au
nombre de lignes de B.
– Pour retenir la taille de AB, penser à une relation de Chasles : An;p et
Bp;q, donc AB est de taille (n ; q).

Extraits

[...] Démonstration. Soit λ λA(1 ; λA(1 ; . λA = . λA(i ; . λA(n ; λA(n ; Théorème Soient A Mn;p et B Mp;q : p ; = k=1 A(i ; k)B(k ; j). Théorème Soient A Mn;p B Mp;r et C Mp;r alors, A(B + = AB + AC. Remarque : pour montrer une égalité entre des matrices A = on prouve : 1. Que A et B ont la même taille A(i ; = B(i ; pour tout ; Démonstration. [...]

[...] Exemple : Soit An = [2i+j ] Mn 21+1 22+1 3+1 An = 2 . . 2n+1 21+2 21+n 2n+1 2+2 2+n 2 2 . . 16 . 23+n = 8 . . . . . n+1 2n 2 n+2 n+n 2 Calculons A2 : pour ; 1 ; n (A2 ; = ; j). n ; = k=1 n A(i ; k)A(k ; j). 2i+k 2k+j . [...]

[...] Ligne 1 a1;1 a1;2 a1;3 ai;j a1;p a2;1 a2;2 a2;3 a2;j a2;p Ligne 2 . . . . Ligne j aj;1 aj;2 aj;3 aj;j aj;p . . . Ligne n an;1 an;2 an;3 an;j an;p Colonne 1 Colonne 3 Colonne j Colonne p A se note : A = [ai;j . On note Mn;p l'ensemble des matrices de taille ; à coefficients dans K Exemple : On a B = [i2j ] Cas particuliers : 1. Cas n = 1 : M1;p = x1 xp : x1 K ; . [...]

[...] On calcule AB de la façon suivante : t u v = ax + bt ay + bu az + bv . cx + dt cy + cu cz + cv Pour A = a b x y z c d t u v Définition Soit A Mn;p Notons L1 ; . ; Ln les lignes de A. Soit B Mp;q . Notons L1 ; . ; Lq les colonnes de alors AB est la matrice : AB = (Li Lj . [...]

[...] A Mn;p B Mp;q t = t B t A Démonstration Prenons n = 2 et p = 3. a b c e f g et x y z . t u v t + = t a+x b+y c+z e+t f g+v t (λA) = t λa λb λc λe λf λg λa λe a e = λb λf = λ b f = λt A. λc λg c g a+x e+t = b + y f + c+z g+v a e x t = b f + = t A + t B. [...]