Calcul intégral - Les séries de Fourier

Thèmes abordés

Calcul intégral, séries de Fourier, fonctions, intégration de fonction, Théorème de Dirichlet, théorème de Riemann, égalité de Parseval, théorème de Weierstrass-Stone, équation de la chaleur

Résumé du document

Nous allons introduire, tout au long de ce cours, la notion de séries de Fourier et les applications que cette notion permet de réaliser. On terminera enfin par des résultats concernant la convergence uniforme des séries de Fourier et par des exemples pratiques (équation de la chaleur, noyau de Fejer,...).

Extraits

[...] (Théorème de Dirichlet) Soit f C 1 par morceaux, alors, Sn(f f lorsque n + Si de plus, f est continue sur la série de Fourier de f converge normalement vers f sur R. Dans ce dernier cas on En effet, p=n+1 p(f ) + b p(f ) ) n+1 m p=n+1 ( a p(f ) + b p(f ) ) p=n+1 ) + b p(f ) ) Section en faisant tendre m vers + D'où Sn(f f lorsque n 2 = 1 2π 2π (Sn(f f dx p=n+1 p(f ) + bp(f ) ) 0 4.6 Autre formulation du théorème de Dirichlet On suppose f : R 2π périodique, C 0 par morceaux. [...]

[...] Le théorème de Riemann s'applique, i.e. π ψ(u)sin 0 2n + 1 u du = 2 π ϕ(u)Kn(u) du Et Sn(f f = 0 lorsque n 2π π + f du Théorème de Dirichlet 13 Deux cas se présentent alors : Si x est un point n'appartenant pas à la subdivision associée à f , f étant supposée C 1 par morceaux, on applique le lemme précédent à ϕ définie par ϕ(u) = + f u [ π, + π]. [...]

[...] On a tous les résultats précédents avec f i.e. n 0 an(f ) 2 et n 0 Preuve : Dès que f est C 0 par morceaux, f est C 1 par morceaux et continue. bn(f ) 2 sont convergentes. n 0 an(f ) et n 0 bn(f ) sont convergentes si 1 Soit f = 2 f + f , R. Montrons que f est dans E et qu'elle est C 1 par morceaux f + 2π) = 2 f + + f + . [...]

[...] (Une démonstration plus facile du théorème de Weierstraβ-Stone) Soit f une fonction continue sur 2π], avec f = f (2π). Alors, > P tel que 2π], f P ε Ici, on approche Σn(f ) par un polynôme. Corollaire 29. (Nouvelle démonstration de l'égalité de Parseval pour les fonctions continues) Si f est continue, en vertu du théorème 27., on a Sn(f ) f Σn(f ) f sup Σn(f f car Σn(f ) E et Sn(f ) est la projection orthogonale de f sur E. [...]

[...] (Egalité de Parseval) Soit f : 2π] C 0 par morceaux. On en conservant les notations précédentes .a0(f + n ak(f + bk(f = f = 1 2π 2π dt 0 Preuve : Distinguons plusieurs cas : Premier cas : Le résultat a été démontré si f est continue sur 2π] avec f = f (2π) et f une fonction C 1 par morceaux sur 2π] (cf appliqué à la fonction f : R 2π périodique qui coïncide avec la fonction donnée sur 2π]. [...]