Calcul différentiel à une variable

Résumé du document

Cours de Mathématiques de Classe préparatoire aux grandes écoles (PC*) sur le calcul différentiel à une variable.

Extraits

[...] h I.1 Interprétation cinématique : Si la variable t représente le temps (et plus particulièrement si dim E alors f est une loi de mouvement, et f représente le vecteur-vitesse à l'instant t de cette loi de mouvement. I.2 Développement limité d'ordre 1 On a f est dérivable au point a si et seulement si f admet un développement limité à l'ordre 1 en a. En effet f(a + = + hf + o(h). En particulier, f dérivable en a est continue en a. (Réciproque fausse). Rappelons que puisqu'il s'agit ici de fonctions à valeurs vectorielles, il n'est pas question ici de limites infinies. [...]

[...] Elle est bien df entendu notée f , ou Df, ou . dx La fonction f est dite de classe C 1 sur I si la fonction dérivée f est continue sur I II II.1 Opérations sur les applications dérivables Combinaisons linéaires Si f et g sont dérivables en si λ et µ sont deux scalaires, alors λf + µg est dérivable en et (λf + µg) = λf + µg L'ensemble C 1 est donc un espace vectoriel. II.2 Composition par une application linéaire Théorème II.1 Soit u une application linéaire de E vers un espace vectoriel normé de dimension finie F. [...]

[...] C k est un espace vectoriel k et k C C . C 1 C 0 E). L'ensemble C k est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de KI . Proposition IV.2 (Formule de Leibniz ) Soit f : I E k-fois dérivable et ϕ : I K k-fois dérivable sur alors fϕ est k-fois dérivable sur I et : k = p=0 k f ϕ p Démonstration : La démonstration se fait de la même manière que pour les fonctions à valeurs réelles, c'est-à-dire par récurrence sur k. [...]

[...] Théorème IV.4 Une fonction ϕ : R R est un C k -difféomorphisme de I sur J = ϕ(I) si et seulement si ϕ est C k et si ϕ = IV.1 Fonctions de classe C k par morceaux Définition IV.5 Une application f à valeurs dans E est dite C k par morceaux sur un segment où 1 k s'il existe une subdivision ap ) de telle que la restriction de f à chacun des intervalles ]ai , ai+1 [ soit prolongeable en une fonction de classe C k sur [ai , ai+1 Les dérivées successives de f sont donc définies sur privé d'une partie finie, elles sont notées Dj f ou . Définition IV.6 Une application f est dite de classe C k par morceaux sur un intervalle I quelconque si sa restriction à tout segment est de classe C k par morceaux. Théorème IV.7 Si f est continue sur un intervalle I et si f est C 1 par morceaux sur f est constante si et seulement si Df = 0. [...]

[...] Le vecteur dérivé à droite est noté fd De la même manière on définit la notion de dérivée à gauche. Remarque : On pourra préférer étudier le taux d'accroissement de f au point a défini par Ta : h On obtient alors la définition : Définition I.3 On dit que f est dérivable (resp. dérivable à gauche, resp. dérivable à droite) en f(a + a si Ta = admet une limite quand h tend vers zéro (resp. quand h tend vers h zéro par valeurs inférieures, resp. par valeurs supérieures). [...]