Les bases numériques en mathématiques

Résumé du document

Qu'est-ce qu'une base ? Une base numérique est une manière de représenter les nombres en utilisant une certaine quantité de symboles (chiffres ou autres idéogrammes, le plus souvent des lettres). Le système de numération est l'ensemble des symboles et règles permettant de nommer et d'écrire les nombres. La numération, c'est la possibilité de faire des paquets de plus en plus gros que l'on fabrique toujours de la même manière.
On distingue deux sortes de numérations :
- le système positionnel (que nous allons maintenant étudier)
- le système additionnel (pas abordé aujourd'hui).

La numération fait appel à deux principes fondamentaux que l'on retrouvera dans toutes les bases de calculs.
Le 1er principe fondamental est le principe de position : on associe à un chiffre qui a une position dans un nombre une valeur parfaitement définie. Par exemple, 1 signifie que l'on a 1 fois l'unité. Le même chiffre placé dans le nombre 1023 signifie qu'il y a 1 fois mille. Pour des économies de noms et de symboles, les systèmes les plus efficaces sont ceux qui reposent sur des regroupements en un certain nombre d'éléments, toujours le même. Ce nombre est appelé « BASE » de numération.
Le 2nd principe fondamental est le principe du zéro. Le zéro matérialise une position où il y a absence d'éléments. Pour que le nombre 10 signifie dix, il faut placer le 1 sur la colonne des dizaines puis matérialiser l'absence d'unité par un 0.
Un système de numération est donc dit positionnel si la valeur d'un chiffre dépend de sa position. Un système de numération positionnel se caractérise par une base, c'est-à-dire le nombre de « chiffres » nécessaires pour écrire les nombres.

Extraits

[...] gros paquet de 25 éléments paquets de 5 éléments et . éléments seuls. Le 5 mis en indice précise que les paquets constitués sont des paquets de 5 puis de 5 x etc Même exercice regrouper les carrés en paquets de 5 ( en vert), puis regrouper 5 paquets de 5 carrés en gros paquets (en rouge) : Écrire le résultat en base 5 : La base 3 : En manipulation, lorsque l'on travaille en base 10, il faut beaucoup d'objets afin d'atteindre la troisième position, celle des centaines. [...]

[...] Exercice : regrouper les symboles en paquets de 10. On peut rassembler ici 2 paquets de 10 éléments et 1 élément seul. Les chiffres qui indiquent le nombre de différents groupements obtenus sont posés les uns à côté des autres dans un ordre bien précis. Dans l'exemple ci-dessus groupements de 10 = 2 x 10 + 1 Et un élément isolé 21 = 21 en base 10 Rappel : Lorsque vous avez appris à compter, on vous a probablement fait manipuler des paquets de 10 allumettes (dizaines) et rassembler les dizaines par paquet de 10 (centaines), etc. [...]

[...] Remarquez : - le plus grand chiffre est 9. - 10 est un nombre composé des chiffres 1 et 0. Comment se forment tous les nombres ? 0 (nombres d'éléments de l'ensemble vide) etc (le plus grand chiffre) 10 dizaine et 0 unité) 11 dizaine et 1 unité) Remarquez qu'un chiffre n'a pas la même signification suivant la position ou le rang qu'il occupe dans un nombre. Exemple : 21 = 2 dizaines unité 12= . dizaine unités Le système de numération positionnel constitue une représentation contractée au maximum d'une série d'additions et de multiplications. [...]

[...] (143)10= ( . –Écrire (35)6 en base 3 •Additionner En base 322+143=? 322 + 143 VII. Annexe Le système binaire est comme nous l'avons dit précédemment utilisé dans l'informatique et l'électronique. [...]

[...] En base il n'en faut que 9. Caractéristiques : Il existe les chiffres et . en base 3. En base le groupement se fait par . Le plus grand chiffre est . Dès que l'on a 3 unités, les 3 unités composent une troisaine ou base s'écrit en base 3 (10)3 et se prononce . ; . C'est-à-dire un paquet de 3 (base) et 0 unité. Exercice : compléter le tableau : La base binaire (base de la technologie) Premièrement employée chez les électriciens, puis dans l'informatique et le numérique, elle témoigne de deux états possible : comme dans un circuit électrique (circuit ouvert ou circuit fermé). [...]