Bases de l'algèbre linéaire

Résumé du document

Ce cours d'algèbre linéaire aborde les thèmes suivants : matrices et calculs matriciels, opérateur de projection, les déterminants, les isométries, formes quadratiques, factorisation matricielle (LU, CCt, QR, SVD), le discret et le continu, produit de kronecker, matrices de GRAM.

Extraits

[...] a e e Equivalent ` c). a Equivalent ` (division par w1 = a Remarque : Une certaine difficult´ de compr´hension survient parfois ` e e a propos de la notion de gradient ; en effet, ce terme se trouve ´galement employ´ e e d´f. e 56 comme synonyme de pour des fonctions non pas sous forme implicite e e mais sous forme cart´sienne. e Il s'agit bien d'une seule et mˆme notion ; ´tablissons un pont entre les deux e e points de vue. [...]

[...] Il s'agit donc de montrer que e a V UT W = e a U VT WT Autrement dit, d'apr`s il faut ´tablir que (si a = : e e e a V U T ) = a T U V T e a a Or les matrices et sont transpos´es l'une de l'autre et appartiennent e a ` Rn×n . On peut donc leur appliquer l'hypoth`se de r´currence, et la relation e e ci-dessus est ´tablie. e En elle n'est pas compl`tement ´tablie car il a fallu supposer a = 0. e e e e Que se passe-t-il si a = 0 ? [...]

[...] Le th´or`me qui suit donne l'une de leurs e e propri´t´s les plus remarquables : ee Th´or`me ”bij/inj/sur” : e e (pour les matrices carr´es de dimensions n assimil´es, encore, aux e e a applications lin´aires correspondantes). e On a les ´quivalences suivantes pour une matrice et l'application lin´aire e e associ´e : e existe ) A est bijective im(A) = Rn ) A est surjective ker(A) = . ) A est injective Preuve : ) : c'est une propri´t´ g´n´rale des applications. ee e e ) : idem. [...]

[...] Les 4 vecteurs repr´sent´s sur le e e e sch´ma dans le plan N sont donc tous de mˆme norme. e e Lemme : cos θ sin θ cos θ = sin θ exp(θG) = k ,θ 1 Preuve : Grˆce ` la d´finition et aux propri´t´s et : a a e ee θJ 0 exp (θJ) exp(0) Rθ 1 exp(θG) = exp = = = k ,θ Ce r´sultat va permettre une extension de ` la dimension 3 : e a 38 Proposition : RN , θ = exp(θΛN ) Preuve : Par applications successives de et : RN,θ = .P = P. [...]

[...] e e Remarque : Un bloc de z´ros peut ˆtre carr´ ou rectangulaire, et non e e e n´cessairement de la mˆme taille, mˆme ` l'int´rieur d'une mˆme matrice ! e e e a e e Nous allons continuer ` pr´senter de nombreux r´sultats / exemples sur des a e e calculs par blocs. Prenons quelques conventions simplificatrices. Pour toute la suite de ce cours, de mani`re g´n´rale, on partie e e tionnera en blocs les matrices carr´es selon des partitions 2 de la e A B forme les blocs diagonaux A et D seront g´n´ralement carr´s u e e e C D A Rp×p et D Rn×n . [...]