Bac S 2014 Guyane - Exercice 2 - Mathématique, énoncé, corrigé et point méthode

Thèmes abordés

Sciences humaines et arts, Bac S 2014, baccalauréat, Guyane, mathématique, nombres réels, dérivée, fonction exponentielle, fonction, factorisation, fonction linéaire, forme indéterminéé

Résumé du document

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'ensemble R des nombres réels par f (x) = x + 1 + x/ex
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j).

Extraits

[...] D´terminer les limites de f en −∞ et en +∞ e limx→−∞ + = −∞ et limx→−∞ Donc limx→−∞ f = −∞ x ex =-∞ Point m´thod e Il est parfois tr`s utile d'utiliser la forme e car 1 ex = x ex = x∗ 1 ex = x ∗ e−x e−x Point m´thode: e Cette formule s'av`re tr`s utile ici. En effet, en utilisant la forme donn´e on e e e s'aper¸oit qu'il s'agit d'une forme ind´termin´e. On peut alors utliser la forme c e e x inverse de ex qui est e On a ainsi une limite connue : limx→+∞ ex =+∞ x x x x On a limx→+∞ ex =+∞ (forme connue). Par quotient, limx→+∞ Par ailleurs, limx→+∞ x+1=+∞ Par cons´quent, limx→+∞ =+∞ e 1 ex x =+∞ On appelle f' la d´riv´e de f sur R. [...]

[...] La tangente d'une courbe au point d'abscisse a est y=f'(a)(x-a)+f(a) La tangente ` la courbe C au point d'abscisse 0 est: a y=2x+1 Etudier la position relative de la courbe C et de la droite T 3 Point m´thode: e Pour ´tudier la position relative d'une courbe et de sa tangente d'´quation e e ax+b, on ´tudie le signe de - en fonction des valeurs de x. e • Sur les intervalles - (ax + > Cf est au-dessus de T. [...]

[...] e En d´duire le signe de g(x). e Point m´thode: e Pour ´tudier les variations d'une fonction il suffit d'´tudier le signe de sa d´riv´e e e e e Correction: D´terminons la d´riv´e de g. G est de la forme k+u+v avec pour tout x de e e e k=1 u est une fonction lin´aire donc d´rivable sur R avec u'(x)=-1 e e v est la fonction exponentielle. Elle est donc d´rivable sur R avec v'(x)=ex e Point m´thode: e La d´riv´e de la fonction exponentielle est elle-mˆme e e e Donc g est d´rivable sur R avec pour tout g'(x)=u'(x)+v'(x)=-1+ex e g 0 ex 1 ex e0 x≥ 0 Point m´thode: e e0 = 1 Pour tous r´els a et ea eb a≥ b e Le tableau de variation de g est donc: 1 On d´duit du tableau de variation que est positive lorsque x est sup´rieure e e ou ´gale ` 2. [...]

[...] Calculer, en unit´ d'aire, l'aire du domaine D. e e Point m´thode: e • Le domaine d´limit´ par une courbe une droite T et les droites e e d'´quation x=a et x=b est l'int´grale entre a et b de la diff´rence entre la e e e droite T et la courbe (car ici nous avons montr´ que C est en dessous de e T sur si T avait ´t´ en dessous de C on aurait fait la diff´rence entre ee e la courbe C et la droite Sur C est en dessous T donc l'aire du domaine D est : 1 2x + 1 − f (x)dx = 1 2x + 1 − x − 1 − ex dx x Donc 1 x − ex dx = 1 x-xe−x dx (n'oubliez pas cette astuce ) x 3 Ainsi, 1 x − h(x)dx (quelle coincidence, on retombe sur une expresion reconctr´e auparavant. [...]

[...] Elle est donc d´rivable sur R avec w'(x)=ex e v w v est donc d´rivable sur R avec: ( w ) = e v (x)w(x)−v(x)w w(x)2 = ex −xex e2x Point m´thode: e On utilise ici une formule ` connaitre sur le bout des doigts a v pour trouver la d´riv´e d'un quotient de fonctions: ( w ) = v (x)w(x)−v(x)w e e w(x)2 v Donc f est d´rivable sur R avec f'(x)= u'(x) + ( w ) 1+e−x − xe−x e −x −x x −x −x Or e − x + e ) = e − xe + 1 Donc: f =e−x En d´duire le tableau de variation de la fonction f sur R. e Nous avons vu que pour tout r´el > 0. De plus, e−x > 0. Par e cons´quent, f > 0. [...]