Autour du théorème de Césaro

Résumé du document

Le présent document a pour objectif de montrer l'importance du théorème de Césaro dans la résolution de beaucoup de problèmes de suites numériques.
On énoncera dans un premier temps le théorème avec sa démonstration, ensuite on passera en revue divers applications en analyse, notamment en suites numériques.
Toutes les propositions figurant dans ce document sont démontrées.
Le plan est le suivant :le théorème de la moyenne de Césaro, un résultat utile, technique du simple Césaro, la version fonctionnelle.

Extraits

[...] / 3 On se propose dans la suite de ce paragraphe de montrer ce résultat : a n ~ (3n ) k n + bn bn = [ a k2 ) 2 + a k ) 2 + a k2 a k2 ) n ) . k k 2 k k k n n n De plus la série k diverge car sinon : il existe l>0 tel que : a n ~ ce qui est 2 k impossible. Ainsi, k = + et a n tend vers 0 lorsque n tend vers + . [...]

[...] x0 x A x x δ ( = Soit donc ε > 0 et choisissons A tel que : sup f ) l ε , alors A pour tout réel x tel que x on a : A 1 δ ( ε + f ) l dt 2ε pour tout x>A assez grand. x0 D'où la proposition de la version fonctionnelle du théorème de Césaro. Remarque : une légère modification dans la démonstration permet de montrer que ce résultat reste valable pour l infinie. Illustrons l'utilité de cette proposition par l'exemple suivant : Exemple : Soit a = n ) une suite de réels strictement positifs telle que : a n a k2 k n n Trouver un équivalent de a n en + . [...]

[...] Démonstration : l'idée est d'exprimer x n en fonction de x n . En effet, on a : x n = + x n n x n = x n x n ) + x n .Comme ( x n ) tend vers alors il suffit de montrer que la suite ( x n x n ) ) converge vers 0 ce qui n'est pas facile à faire. Pour cela, utilisons l'astuce suivante : Ecrivons que : { n = i + 1 : x n xi = ( x n x n ) + ( x n x n 2 ) + . [...]

[...] Autour du théorème de Césaro Autour du théorème de Césaro Le présent document a pour objectif de montrer l'importance du théorème de Césaro dans la résolution de beaucoup de problèmes de suites numériques. On énoncera dans un premier temps le théorème avec sa démonstration, ensuite on passera en revue divers applications en analyse, notamment en suites numériques. Toutes les propositions figurant dans ce document sont démontrées. Plan : le théorème de la moyenne de Césaro. un résultat utile. technique du simple Césaro. la version fonctionnelle. [...]

[...] On a alors : bn+1 bn et donc en utilisant le théorème de Césaro, bn ~ 3n . n D'où finalement : a n ~ (3n ) / Terminons par des exercices qui illustrent l'importance du théorème de Césaro. Exercice 1 : Soit ( a n ) une suite d'éléments dans IR qui converge et admet pour limite l. Soit (α n ) une suite de réels positifs vérifiant : α 0 > 0 et lim n n n k n k = . [...]