Cours d'arithmétique niveau Terminale

Résumé du document

Cours d'arithmétique accompagné de nombreux exemples et exercices d'application. Ce cours s'adresse aux élèves de Terminale scientifique désireux d'approfondir la connaissance de ce chapitre dans l'optique du baccalauréat.

Extraits

[...] - a est appelé le dividende - b est appelé le diviseur - q est appelé le quotient - r est appelé le reste Dans ce cas on dit que : o o b est un diviseur de a a est un multiple de b Propriétés Soient b et c des entiers relatifs. Remarque a est divisible par b si et seulement si le reste de la division o Si a et b sont multiples de c alors toutes les au + bv (avec euclidienne de a par b est nul ! 1.3 Les congruences Définition Soient a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel. [...]

[...] x = 6 + 7k ' Or on a : x = 2 + 3k x = 6 + 7k ' En élimant x on a : 2 + 3k = 6 + 7k ' Donc : 3k 7k ' = 4 On est ainsi ramené à la résolution de l'équation 3k 7k ' = 4 qui est de la forme ax+by=c On applique dans ce cas la démarche présentée D'où : x = 2 + 3 p = + 21p Conclusion L'ensemble recherché est constitué par tous les entiers relatifs de la forme x = + 21p où p est un entier relatif quelconque. précédemment : Les entiers 3 et 7 étant premiers entre eux, on est certain de l'existence d'une solution. [...]

[...] Notons y1 ) une telle solution. Retenons que a au moins une solution si et seulement si les entiers a et b sont premiers entre eux. Si on a effectivement ax1 + by1 = alors en multipliant par c on trouve : x1c) + b(y1c) = c Et le couple (x1c, y1c) est donc une solution particulière de Il faut donc s'assurer que PGCD(a,b)=1 avant de poursuivre. Si ce n'est pas le cas, l'équation n'a pas de solution et l'étude est (déjà) terminée. [...]

[...] Cette méthode permet d'obtenir une solution à l'équation (E') solution que l'on cherche à déterminer Alors on a : + by = c + by 0 = c En soustrayant membre à membre, on 5.2 Exemples Application 1 : Résoudre l'équation 47x-80y=101 trouve : x x0 ) + b(y y0 ) = 0 Donc : x x0 ) = b(y0 y ) Etape 1 : Existence d'une solution De cette écriture, on peut en déduire que a divise Avant d'entamer la résolution, il faut s'assurer que l'équation possède bien des solutions. Pour cela, il faut vérifier que 47 et 80 sont premiers entre eux. [...]

[...] On dit que a est congru à b modulo n si et seulement si a-b est un multiple de n. On note dans ce cas : a 2 combinaisons linéaires u et v entiers relatifs) sont également des multiples de c. o Si a divise b et c alors a divise toutes les combinaisons linéaires bu+cv o o Si a divise b et si b divise c alors a divise c Si a divise b et si b divise a alors a=b ou a=-b. [...]