Cours d'arithmétique

Patrice C.

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Cours d'arithmétique

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Cours d'arithmétique conforme au programme de Terminale S : la divisibilité dans Z, les congruences, les systèmes de numération, les nombres premiers, PGCD et PPCM, les nombres premiers, etc.

Sommaire

I) Divisibilité dans Z et congruences

A. Divisibilité dans Z
1. Définition
2. Théorème

B. Division euclidienne
1. Division euclidienne dans N
2. Division euclidienne dans Z

C. Congruences
1. Définition
2. Propriétés

D. Systèmes de numération

II) Nombres premiers

A. Définition
B. Théorème
C. Infinité des nombres premiers
D. Théorème de décomposition
E. Décomposition et diviseurs

III) PGCD et PPCM, nombres premiers entre eux

A. PGCD de deux nombres
1. Définition
2. Propriétés
3. Algorithme d'Euclide
4. PGCD et décomposition
5. Identité de Bézout

B. Nombres premiers entre eux
1. Définition
2. Théorème et coefficients de Bézout
3. Théorème
4. Théorème de Gauss et ses corollaires
5. Équations diophantiennes
6. Petit Théorème de Fermat

C. PPCM
1. Définition
2. Propriétés
3. PPCM et décomposition
4. Relations entre PGCD et PPCM

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Extraits

[...] si x 6 y et si y 6 alors x 6 z : elle est transitive On peut remarquer que, quels que soient deux nombres réels (ou entiers) x et y on a forcément x 6 y ou y 6 x : on dit 6 est une relation d'ordre total. On peut remarquer également que la relation [...]

[...] Il divise donc p1 . pn . Il divise également N , donc il divise leur différence, c'est-à-dire 1. Donc, nécessairement p = 1. Or 1 n'est pas premier et p est premier : il y a une contradiction. L'hypothèse de départ est donc fausse et il y a bien une infinité de nombres premiers Théorème de décomposition T HÉORÈME 13. [...]

[...] On écrit d'abord l'algorithme d'Euclide, en encadrant les restes successifs : 373 = 9 39 + = 1 22 + = 1 17 + = 3 5 + 2 2 + 1 On repart de la dernière ligne : 2 On remplace l'avant-dernier reste (encadré) : 1 = 5 2 17 3 5 puis on réduit : 1 = 7 5 2 17 et on recommence : 1 = 7 22 1 17 2 17 = 7 22 9 17 = 7 22 9 39 1 22 = 16 22 9 39 = 16 (373 9 39) 9 35 = 16 373 (16 9 + 39 D'où, finalement 1 = 16 373 153 39 Ainsi u = 16 et v = Théorème T HÉORÈME 17. Soit a et b deux entiers non nuls, et soit d leur P GCD. [...]

[...] Exemples : division de 37 par : 37 = 3 11 + 4 = + 4 donc q = et r = 4 division de par 11 : = 11 4 = 11 11 + 11 4 = 11 + 7 donc q = et r = 7 division de par : = 11 + 7 = 4 + 7 donc q = 4 et r = 7 T HÉORÈME 4. Soit ; Z b divise a si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Démonstration : si b divise alors il existe k Z tel que a = kb donc le quotient est k et le reste est nul. [...]

[...] Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. n admet au moins un diviseur premier ; si n n'est pas premier, il admet au moins un diviseur premier compris entre 2 et n. Démonstration : si n est premier, c'est lui-même ; si n n'est pas premier, soit p le plus petit de ses diviseurs propres. p est premier, sinon il serait divisible par q 1 avec q [...]

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