Arithmetique des Polynomes - Fractions Rationnelles

Thèmes abordés

Algèbre-Polynômes-Arithmetique- Fractions rationnelles

Résumé du document

Cours + Exercices sur l'arithmétique des polynômes et les fractions rationnelles

Extraits

[...] / X X Pour tout F on a deg F = ssi F = 0. Proposition 12 Pour tout et tout λ : deg + max (deg deg et si de plus deg F = deg alors deg + = max (deg deg G). deg = deg F + deg G. deg (λF ) = deg F . Mathématiques chapitre : polynômes et fractions rationnelles Zéros et pôles d'une fraction rationnelle page 12 Exemples 9 Quels sont les zéros et les pôles de F = Même question pour G = X 2 2X + X X 4 4X 3 + 3X 2 R dans C ? [...]

[...] Remarque 11 Par convention, tout élément de K est zéro de et 0 n'a aucun pôle. Les définitions du zéro et du pôle sont légitimes car elles ne dépendent pas du représentant irréductible de F choisi . De même pour les définitions de l'ordre de multiplicité d'un zéro et d'un pôle. Fonction rationnelle associée à une fraction rationnelle Définition 8 Soit F K On appelle fonction rationnelle associée à F , et on la note F , l'application : F = alors F : K K est la fonction nulle de K dans ; x 0 P F = 0 et F = est un représentant irréductible de F , alors Q F : {β Q = K x P Remarque 12 Ainsi, pour F = F est définie sur K privé des pôles de F . [...]

[...] Q1 P ·Ainsi F = étant une écriture sous forme irréductible de F K \ les écritures sous-forme Q λP CP irréductible de F sont les , avec λ ; les écritures sous forme de fraction de F sont les , avec λQ CQ C K \ Degré d'une fraction rationnelle P On veut définir le degré d'une fraction rationnelle F = comme étant deg P deg Q Z Q P Cette définition, qui ne présuppose pas un choix particulier du représentant de F , sera licite à partir du Q P P1 = alors deg P deg Q = deg P1 deg Q1 et c'est bien le moment où nous aurons vérifié que si F = Q Q1 cas car on a P Q1 = QP1 donc deg P + deg Q1 = deg Q + deg P1 d'où deg P deg Q = deg P1 deg Q Définition 6 Soit F K On appelle degré de F et on note deg F l'élément de Z P donné par, si F = , deg F = deg P deg Q (soustraction dans R). Q Remarque 9 Si P K le degré de P élément de K est égal au degré de P en tant que polynôme. En d'autres termes, l'application deg : K Z prolonge l'application F deg F deg : K N . Ceci légitime l'appellation commune de ”degré”. P deg P Remarque 10 Soit F K Si F K \ alors deg F 0. [...]

[...] Effectuer, si c'est licite, le changement de variable u = tan : il nous ramène à l'inté2 gration d'une fraction rationnelle en u On rappelle que : sin x = 1 u2 2u 1 x 2 2u , cos x = , tan x = , du = 1 + tan2 dx, dx = du) 1+u 1+u + u2 Autres exemples à chercher seul : échange recherche contre corrigé Exemples 28 Déterminer les primitives, en précisant le domaine de validité, de x Exemples 29 Calculer e2x + ex sh2 x dx. chx 2sh3 x + 3ch3 x x + 2 + 2x + 1 dx. x+2 x dx x+1 x dx x2 Exemples 30 Calculer Exemples 31 Calculer Exemples 32 Calculer Exemples 33 Calculer 1/2 dx. x x2 + 1 Mathématiques chapitre : polynômes et fractions rationnelles page 22 G Exos en vrac 1. [...]

[...] Soit P Rm Déterminer l'ensemble des primitives sur I de x i. Calculer Y Y1 et Y ii. Montrer que le polynôme S = X 4 + 4X 3 2X 2 2X 1 est élément de Imf. iii. Déterminer une primitive sur I de x (x3 x + iv. Donner une condition nécessaire et suffisante que doivent vérfier les réels d et e pour que le polynôme aX 4 + bX 3 + cX 2 + dX + e soit élément de Imf. [...]