L'arithmétique dans N

Thèmes abordés

Arithmétique, division euclidienne, nombre premier

Résumé du document

Le document suivant traite le cour de l'arithmétique des entiers naturels, il donne des définitions, des propositions et des exemples des notions suivantes: nombres pairs et impairs, division euclidienne dans N, le PGCD de deux entiers naturels, détermination du PGCD de deux entiers naturels en utilisant l'algorithme d'Euclide, le PPCM de deux entiers naturels, critère de divisibilité, nombres premiers, crible d'Erathosthène, la décomposition en facteurs premiers.
Je vois que ce document est très important pour comprendre et maîtriser l'arithmétique des entiers naturels vue qu'il balaye toutes les notions essentielles de ce chapitre ainsi qu'il donne des exemples pour bien comprendre les définitions associées.
Je vous souhaite un bon courage dans la maîtrise de ce chapitre !

Extraits

[...] •Tout entier naturel n se décompose en un produit fini de nombres premiers. • Pour tout entier naturel n 2 ,il existe des nombres premiers distincts deux à deux p pk et des entiers naturels non nuls a a k tels que p1 [...]

[...] Division euclidienne dans N Soient a et b deux entiers naturels où b > 0. a = bq + r Il existe un couple unique d'entiers naturels tels que :  , q est appelé le quotient , r le reste, a le 0 ≤r dividende et b le diviseur de la division euclidienne de a par b . Le PGCD de deux entiers naturels Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Le PGCD de a et b est le plus grand élément de l'ensemble des diviseurs communs aux deux entiers a et b . [...]

[...] On a ainsi x = an an− a1 a0 = a0.1 + a1.10 + . + an.10n (Exemple : x = 10296 = 6 + 9 × 10 + 2 × 10² + 0 × + 1 × ) Divisibilité par 3 : Un entier naturel est divisible par 3 si et seulement si la somme des ses chiffres est divisible par Divisibilité par 4 ou 25 Un entier naturel est divisible par 4 (respectivement par 25) si et seulement si si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 (respectivement par 25) Divisibilité par 5 : Un entier naturel est divisible par 5 si et seulement si son dernier chiffre est 0 ou Divisibilité par 8 : Un entier naturel 100 est divisible par 8 si et seulement si nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8. [...]

[...] a b 385 Exemple : Calculer PGCD( ) quotient → r2 r r alors PGCD ( ) = Le PPCM de deux entiers naturels Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Le PPCM de a et b est le plus petit commun multiple de a et b . On note par : PPCM(a , ou a b . Critères de divisibilité Convention d'écriture Pour ne pas confondre un nombre avec son écriture dans sa décomposition en base 10, on notera a n a n− a1 a0 le nombre pour lequel a0 est le chiffre des unités, a1 celui des dizaines, etc. [...]

[...] } L'arithmétique est l'étude des nombres entiers et des opérations sur ces nombres Proposition : Pour tout a ∈ N et b ∈ N + b = 0 ) ⇒ = b = 0 ) (ab = 0 ) ⇒ = 0 ou b = 0 ) (ab = ⇒ = b = La divisibilité dans N : Soient a et d deux entiers naturels , tels que d 0 On dit que d divise a , s'il existe k ∈ N tel que a = kd. L'entier k est appelé le quotient de a par d. d est appelé un diviseur de a et a est dit un multiple de d. Nombres pairs et impairs Tout entier naturel est soit pair soit impair. S'il est multiple de deux, c'est un nombre pair. Par exemple, les nombres : et 60, sont pairs. [...]