Arithmétique

Thèmes abordés

Arithmetique

Résumé du document

Cours + Exercices sur l'arithmetique ( 1ere année de CPGE)

Extraits

[...] k Prouver que pour tout k compris entre 1 et p p divise Cp . p divise mp m. Mathématiques chapitre : Arithmétique page 10 Montrer que si m et p sont premiers entre eux : 1 (mod Red Généralisation du résultat précédent Montrer que si a est premier avec n alors aϕ(n) 1 (mod 4. Montrer que quel que soit n l'entier n4 n2 + 16 n'est pas premier Nombres de Mersenne (note 9 Soit n n 2. Montrer que, si 2n 1 est un nombre premier, alors n est un nombre premier. [...]

[...] Cet algorithme construit rN ) tel que pgcd = pgcd r0 ) = pgcd r1 ) = . = pgcd rN ) et rN est le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives de l'algorithme : rN = 0 ce qui signifie que rN rN et donc que pgcd rN ) = rN . Conclusion : pgcd = rN où rN est le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives de l'algorithme d'Euclide. Remarque 5 C'est un algorithme tout à fait adapté à une programmation . [...]

[...] Preuve. Existence : montrons par récurrence (forte) que tout entier n 2 se décompose en produit de nombres premiers. n = 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Soit n 2. Supposons que tout entier inférieur ou égal à n se décompose en produits de facteurs premiers.Considérons n + 1 : Si n + 1 est premier, alors n + 1 = n + 1 est une décomposition. Sinon, n + 1 = ab, avec 1 [...]

[...] Indication : On pourra raisonner par l'absurde, considérer le produit n de tous les nombres premiers de la forme 4k + 3 et étudier m = 4n Red Soit n et n = pa par sa décomposition en produit de facteurs premiers. On note la r 1 somme des diviseurs de n. Calculer le nombre de diviseurs positifs de n. Montrer que si m et n sont premiers entre eux alors S(mn) = S(m)S(n). Calculer la somme . Æ 3. [...]

[...] ii. Montrer que z est impair, et que x et y sont de parités différentes. iii. On suppose x pair. Montrer que pgcd + z = 1 et qu'il existe Z2 tel que m et n sont impairs, pgcd = z + x = m2 et z x = n Résoudre dans Z3 l'équation x2 + y 2 = z Donner toutes les solutions formées de nombres strictement positifs au plus égaux à cor Résoudre dans l'équation xy = y x Indication : On pourra utiliser la décomposition de x et y en produits de facteurs premiers puis, en supposant que x prouver que x divise y. [...]