Approximation au sens de Tchebycheff

Résumé du document

Ce document traite des approximations des fonctions continues par la méthode de Tchebycheff.

Le principe est se donner une fonction f définie sur un intervalle fermé [a,b] et un entier naturel n ; peut-on représenter f par un polynôme de degré n tel que l'erreur maximale sur n'importe quel point x de [a,b] soit contrôlable ?

Ce problème soulève en fait plusieurs questions, dont même Tchebychev ne pouvait donner une réponse satisfaisante :
1) Existence d'un tel polynôme ?
2) S'il existe, peut-on le construire ?
3) S'il existe, est-il unique ?
4) Que se passe-t-il si on change la mesure de l'erreur ?

On définit dans ce document l'approximation au sens de Tchebycheff et on étudie la méthode de Remez pour résoudre le problème posé plus haut. Toutes les bases mathématiques du problème sont données et illustrées par des programmes informatiques sous Scilab, logiciel gratuit équivalent à Matlab.

Extraits

[...] L'analyse numérique est précisément liée à cette ancienne discipline décrivant ces constructions qui ne sont plus essentielles à la compréhension de la théorie. La théorie de l'approximation est la plus aimable des sciences exactes, au sens où elle autorise la présence d'erreur. On se souvient alors de notre premier TP0 qui traitait le cas particulier des erreurs d'arrondi. Dans le cas qui va nous préoccuper ici, un objet f (nombre réel, fonction, opérateur ) mathématiquement défini mais inaccessible à des représentations élémentaires est approché par un objet plus simple p. [...]

[...] rcond = 5.5399 E-19 warning matrix is close to singular or badly scaled. results may be inaccurate. rcond = 7.2767 E-19 Approximation du polynôme de meilleure approximation = - .0169203 - .2205451X + 19.759775 X + 18.126184 X - 861.30081 X - 2288.9492 X + 13264.501 X + 124365.36 X + 244902.82 X - 3692627.8 X - 14169517X + 69495089X + 2.949 E+08X - 9.019 E+08X - 3.788 E+09X + 8.503 E+09X + 3.403 E+10X - 6.026 E+10X - 2.263 E+11X + 3.287 E+11X + 1.149 E+12X - 1.403 E+12X - 4.550 E+12X + 4.741 E+12X + 1.423 E+13X - 1.278 E+13X - 3.545 E+13X + 2.762 E+13X + 7.065 E+13X - 4.789 E+13X - 1.127 E+14X + 6.650 E+13X + 1.435 E+14X - 7.355 E+13X - 1.446 E+14X + 6.411 E+13X + 1.138 E+14X - 4.334 E+13X - 6.836 E+13X + 2.216 E+13X + 3.028 E+13X - 8.232 E+12X - 9.313 E+12X + 2.083 E+12X + 1.776 E+12X - 3.175 E+11X - 1.581 E+11X + 2.164 E+10X eprim maximale = .0007105 Nombre d'étapes = 1. [...]

[...] De plus, par passage à la limite on obtient : E = f(xi) et = - Par ailleurs, d'après : E = f p * . La fonction f équioscille(1) donc sur les n+2 points xi ; le polynôme est donc l'unique polynôme qui réalise la meilleure approximation de f. De plus, d'après toute valeur d'adhérence de la suite pk réalise la meilleure approximation de f ; la suite pk a donc une seule valeur d'adhérence ; comme elle appartient à un compact (la suite est bornée dans un espace de dimension finie), elle est convergente. Démonstration du lemme utilisé : Montrons le par l'absurde. [...]

[...] Le but k n de cette première question est de trouver les coefficients ak et le terme En utilisant on a pour i = 0 n+1 = i + = a0 + a1xi′ + + . + = 2 n 1 x x ' x ' a0 f ( x ) 2 n a1 f ( x ) 1 x x ' x . a3 = f ( x ) . n + 2 lignes . n 2 n . 1 x x . [...]

[...] Tout d'abord, si f est une fonction paire sur un intervalle de la forme 17 ; c'est à dire si x ; = alors sa meilleure approximation p de degré n au sens de Tchebycheff est également une fonction paire. Il suffit pour cela de regarder les tests 2 et 3. Les coefficients des polynômes sortis associés au terme de puissance impaire sont sensiblement proche de %eps, donc peuvent être considérés comme nuls. Dans ce cas, on a bien des fonctions polynomiales paires. [...]