Approximation et interpolation de fonctions continues.

Résumé du document

Les notions d'approximation et d'interpolation sont très utiles en mathématiques et en physique car elles sont le moyen de connaître véritablement les valeurs d'une fonction continue : informatiquement, c'est la méthode la plus utilisée. Ce document est de niveau prépa scientifique et deug maths/physique.
On aborde tout d'abord la notion d'approximation : approximation dans un espace métrique, approximation linéaire, polynomiâle, des moindres carrés. Ensuite, on s'intéresse à la notion d'interpolation : rappels généraux, polynômes interpolateurs de Lagrange, différences divisées, polynômes de Newton.

Extraits

[...] Approximation & Interpolation Introduction Notons Pn = ensemble des polynômes de degré n. Le but de ce document est de donner quelques notions de la théorie de l'approximation et de l'interpolation permettant d'aborder la résolution de points tels que : Approximation 1)f continue sur déterminer dans Pn, un élément p qui rend le plus petit possible. 2)Peut on trouver p ( Pn telle que Max f p [...]

[...] Dem : Pour cela, on construit Pn sous la forme Or par hypothèse, on a Pn = f i = n donc on a un système linéaire : Les aj peuvent être obtenus en résolvant ce système dont le déterminant est celui de VanderHand : Qui sera donc non nul si et seulement si xi ( xj et i ( j. Dans ce cas la solution existe et est unique D'où l'existence unique de l'interpolation. La résolution de ce système donne aj = det / D d'où Le problème est que cette relation nécessite le calcul de déterminants, ce qui est très coûteux. Donc à éviter. En fait, lorsqu'on écrit , le choix de la base canonique n'est pas approprié. [...]

[...] Le système s'écrira donc : d'où : b0 b0 + b1N1 . = f b0 + b1N1 + b2N2 . = f b0 + . + bnNn = f Trouver les bi est donc relativement simple. Mais nous allons alléger les notations en introduisant les différences divisées )Différences divisées. Définition : Soit une fonction dont on connaît les valeurs en + points x xn distincts. [...]

[...] Théorème : Une CNS pour que ( F soit la meilleure approximation de f est que = 0 ( F est appelé MAMC = Meilleure approximation de f au sens des moindres carrés. Théorème unicité : La MAMC ( F de f ( E est unique. Construction de : Soient v vn, les éléments d'une base du sous espace vectoriel F de dim finie n. s'écrit La condition N S d'orthogonalité ( = avec ,élément quelconque de F s'écrit = C'est-à-dire le système linéaire à n équations et n inconnues (qui sont les : 3.2 )Cas Particulier : approximation polynomiale .1)Approximation polynomiale. [...]

[...] Soit sa limite, on a alors : d ( m (borne inférieur) D'autre part, grâce à la propriété d'une distance, on a d ( d + d et lorsque n ( g*n ( donc d ( 0 et d ( m (puisque Par conséquent d ( m + 0 = m et en conclusion 2.0 ) Approximation dans un espace vectoriel normé. Un espace vectoriel normé(E, . ) est aussi un espace métrique pour la distance définie par Le théorème précédent s'appliquera donc dès que F ( E et F compacte. [...]