Applications et relations binaires en mathématiques

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Applications et relations binaires en mathématiques, théorèmes, formules mathématiques, injection, bijection, surjection, solutions binaires, classes d'équivalence

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques qui s'attache à présenter les applications et relations binaires, sous la forme principalement de formules mathématiques. Diverses définitions sont apportées telles que celles de l'image d'une partie, la restriction et le prolongement, l'injection ou encore celle d'une image réciproque. Comme exemple de définitions on peut citer celles-ci : "Soit A C E. Un maximum A est un élément de A qui majore A. Un minimum A est un élément de A qui minore A. Soit A C E. La borne supérieure de A est le plus petit de ses majorants. On la note sup A. La borne inférieure de A est le plus grand de ses minorants. On la note inf A."

Extraits

[...] Applications et relations binaires I. Applications Définition : Soit et deux ensembles, une application est une correspondance qui à tout élément de associe un unique élément . On note . Définition : Soit et deux ensembles. Une application , est une partie de x telle que : . Définition (image d'une partie) : Soit , une fonction, soit . L'image de par notée est : . Définition (restriction, prolongement) : Soit . Si , la restriction de est : Si , un prolongement de est une application telle que . [...]

[...] Propriété : Si existe, alors aussi et . Propriété : Soit , on suppose que et existe, alors : . . Si alors . Théorème : Soit , non vide. Si est majorée, alors existe (propriété de la borne supérieure). Définition (partie entière) : Si , la partie entière de , notée (ou est le plus grand entier inférieur à . Propriété : . Définition : Soit . est dans si : . Théorème : et sont denses dans . [...]

[...] Relations binaires Définition : Soit un ensemble. Une relation binaire sur est un ensemble inclus dans x . Pour , on notera au lieu de . Définition : Soit une solution binaire sur . est réflexive si : . est transitive si : . est symétrique si : . est antisymétrique si : . Définition : Une relation sur un ensemble est une relation d'équivalence si elle est réflexive, transitive et symétrique. Définition : Soit une relation d'équivalence sur et . [...]

[...] Tout point de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent par la fonction. Théorème (subjectivité et composée) : Soit Si et sont surjectives, alors l'est. si est surjective, alors l'est. Définition (bijection) : est bijective est injective et surjective. est bijective si : . Théorème : Soit . Si est bijective, alors possède une réciproque. Dans ces conditions, la réciproque est unique, notée . On a de plus : . Théorème : Soit . Si est bijective, alors l'est aussi, et . Si et sont bijectives, alors aussi, et = o . [...]