Les applications linéaires en mathématiques : généralités et définitions

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Applications linéaires en mathématiques, généralités et définitions, formules mathématiques, endomorphisme, théorème du rang, espace vectoriel, bijection, relation d'équivalence

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques concernant les applications linéaires, en utilisant principalement des formules mathématiques pour étayer cette présentation. Diverses généralités, définitions, théorèmes tel que celui du rang, ainsi que des notations, sont présentés. Ainsi, du vocabulaire est expliqué, comme par exemple, le fait que "l'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté L(E,F). Parfois, on dit d'une application linéaire que c'est un morphisme d'espaces vectoriels. Si E=F, on dit qu'une application linéaire de E dans F que c'est un endomorphisme et on note leur ensemble L(E)".

Extraits

[...] Corollaire : Si est de dimension finie et . Alors est inversible à droite et à gauche. Théorème : Soit . On suppose que . Alors et . B. Théorème du rang Lemme : Soit . On suppose que est un supplémentaire de dans . Alors est un isomorphisme de sur . Théorème du rang : Soit , alors . C. Rang d'une matrice Définition : Si si sont les colonnes de . Propriété : . Si . Théorème : Soit . [...]

[...] Formes linéaires, hyperplans Définition : Soit un -espace vectoriel. Un hyperplan de est un sous-espace de qui est le noyau d'une forme linéaire non nulle. En dimension finie, un hyperplan est donc donné par une équation linéaire (non nulle) en les coordonnées dans une certaine base. Théorème : Soit un sous-espace vectoriel de . Alors : est un hyperplan de Il existe une droite vectorielle tel que . Notamment, si est de dimension finie, si est un hyperplan de Théorème : Si est un hyperplan de , si et sont deux formes linéaires sur telles que , alors : il existe tel que . [...]

[...] L'intersection de hyperplans est de dimension . Tout sous-espace vectoriel de de dimension est l'intersection de hyperplans. V. Projecteurs et symétries Définition : Soit un -espace vectoriel, et deux sous espaces vectoriels de tel que : . Si , tel que . Soit et . On dit que : est la projection sur parallèlement à . est la symétrie par rapport à parallèlement à . Théorème : Soit deux sous espaces vectoriels de Soit la projection sur parallèlement à . [...]

[...] Applications linéaires I. Généralités A. Définition Définition : Soit deux -espaces vectoriels, et . On dit que est linéaire si : . Remarque : si est linéaire, Propriété : est linéaire Vocabulaire : ⇨ L'ensemble des applications linéaires de dans est noté : . ⇨ Parfois, on dit d'une application linéaire que c'est un morphisme d'espaces vectoriels. ⇨ Si , on dit qu'une application linéaire de dans que c'est un endomorphisme et on note leur ensemble . Définition : Si , on note est l'application linéaire canoniquement associé à A. [...]

[...] Le dit notamment que si alors est isomorphe à . Théorème : Soit et une base de . Alors : est surjective est génératrice de . est injective est libre. est un isomorphisme est une base de . II. Autour du rang A. Généralités Définition : Soit . On dit que est de rang fini si est de dimension finie. Dans ce cas, le rang de est . Remarque : Si est une base de , si est de rang fini : . [...]