Les angles et la trigonométrie

Résumé du document

Dans un repère orthonormé d'origine O, on appelle cercle trigonométrique le cercle de rayon 1, de centre O, orienté dans le sens positif (sens inverse des aiguilles d'une montre).

Si (D) est la droite des réels, d'origine I, tangente au cercle trigonométrique en I, alors on appelle abscisse curviligne d'un point M du cercle trigonométrique l'abscisse du point N de la droite réelle qui se superpose avec M par enroulement de la droite sur le cercle (...)

Extraits

[...] Une symétrie axiale transforme un angle orienté en un angle de mesure opposée. III. Trigonométrie : Repérage polaire : Dans un repère orthonormé direct ,tout point M est repéré par des coordonnées dites cartésiennes. On peut aussi le repèrer à l'aide de l'angle orienté ( i ,OM ) et de la longueur OM, d'où de nouvelles définitions : La longueur OM , notée ρ , est le rayon polaire de M. L'angle ( i ,OM , θ , est l'angle polaire de M. [...]

[...] on appelle A et B les points du cercle trigonométrique tels que A et B [ON). i alors ( u , v ) = ( OA, OB ) L'angle ( u , v ) est l'angle de la rotation qui amène sur [OB). Mesures d'un angle orienté : Les mesures d'un angle orienté ( v ) sont égales aux mesures de l'arc orienté AB du cercle trigonométrique , associé à ( u , v L'unité sera le radian. Conséquences : Si α est abscisse curviligne de A , si β est celle de B alors β α est une mesure de l'angle orienté ( u , v On écrira ( u , v ) = β α + k 2 π , k ZZ ou ( u , v ) = β α ( modulo 2 π ) ou ( u , v ) = α ( 2 π ) ou ( u , v [2π] Parmi toutes les mesures d'un angle orienté , il en existe une appartenant à l'intervalle ] π ; π Cette mesure est la mesure principale de l'angle orienté ( u , v 1ère S Ch 2. [...]

[...] Remarques : les points du cercle trigonométrique ont un rayon polaire de 1. si OM = ρ et si ( i ,OM ) = θ ( 2 π ) on notera M [ ρ , θ Lien entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires : Si le point M est sur le cercle trigonométrique Soit i , j ) un repère orthonormé direct . Soit ) le cercle trigonométrique de centre O et de pôle A. Soit M un point de ) de coordonnées polaires [ θ On a alors xM = cos θ et yM = sin θ. [...]

[...] cos ( π θ ) = cos θ ; sin ( π θ ) = sin θ cos ( π + θ ) = cos θ ; sin ( π + θ ) = sin θ π π cos ( θ ) = sin θ ; sin ( θ ) = cos θ π π cos ( + θ ) = sin θ ; sin ( + θ ) = cos θ 1ère S Ch 2. [...]

[...] On aura ainsi un coefficient de proportionnalité égal à 1. Cette mesure d'angle est le radian. En radian , un angle plat a pour mesure π . Un tour complet mesure donc 2 π. Conséquence : Si M est un point du cercle trigonométrique , si α est une abscisse curviligne de M alors tout nombre de la forme α + k 2 π ( k ZZ ) en est aussi une. 1ère S Ch 2. Angles et trigonométrie Année 2008– II. [...]