La méthode mathématique de simulation Monte Carlo

Résumé du document

Cours d'analyse numérique portant sur la fameuse méthode de simulation de Monte Carlo. Cette dernière est une technique numérique pour solutionner des problèmes mathématiques en simulant des variables aléatoires.

Extraits

[...] Bien que la simulation et l'optimisation utilisent toutes deux des modèles quantitatifs, elles sont basées sur des concepts très différents. Dans un modèle d'optimisation, les valeurs des variables de décision sont des résultats. Le modèle produit un ensemble de valeurs, pour les variables de décision, qui optimise (max. ou min.) la valeur de la fonction objectif. Dans un modèle de simulation, les valeurs des variables de décision sont des données. Le modèle évalue la fonction objective avec un ensemble particulier de valeurs. Quand utiliser la simulation ? [...]

[...] En général, les complications sont liées à la nature aléatoire d'une ou plusieurs variables du modèle. Les modèles analytiques ne prédisent typiquement que des moyennes ou des états stationnaires (à long terme). Dans des modèles réalistes, il est souvent important de comprendre la variabilité des mesures ou comment les mesures changent à court terme (états transitoires). La simulation peut être faite avec une grande variété de logiciels, des tableurs tels Excel ou Lotus, aux macro-complémentaires (tels Crystal Ball, @Risk) et aux logiciels dédiés comme SimScript et GPSS. [...]

[...] Chebyshev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov et A. Ya. Khinchin, ont travaillé sur de nombreuses généralisations du théorème original. Toutes les preuves sont plutôt complexes. Considérons N variables aléatoires indépendantes identiques distribuées tels que leur distribution de probabilité coïncide. En conséquence, leur espérance mathématique et leurs variances coïncident aussi (en les supposant finies). Posons : E(x1) = E(x2) = . [...]

[...] Retour à l'exemple : Comment sélectionner des points de façon aléatoire dans un carré de côté Imaginons l'expérience suivante : Une version agrandie de la figure 1 est suspendue à un mur comme cible. Un joueur de dard professionnel placé à quelque distance du mur lance N fois en visant le centre du carré. Alors, tous les lancers ne toucheront évidemment pas le centre, ils frapperont la cible en N points aléatoires. Peut-on estimer la surface de A à partir de ces points? [...]

[...] Le théorème central limite établi que pour tout intervalle ( , ) et pour N suffisamment grand. [...]