Analyse asymptotique : généralités et équivalences

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Analyse asymptotique, généralités et équivalences, théorème de Taylor-Young, théorème des croissances comparées, théorème de Stirling, croissances comparées

Résumé du document

Ce document est un cours de mathématiques s'intéressant à l'analyse asymptotique, présentant des généralités, définitions et théorèmes divers comme celui des croissances comparées ou la formule de Taylor-Young. Ces informations sont fournies sous la forme de formules mathématiques. Par ailleurs, une liste des développements limités en 0 est incluse, et à connaitre par cœur. Des définitions, remarques, théorèmes et propriétés à propos des équivalences sont explicités, c'est également le cas pour les développements limités.

Extraits

[...] Remarque : La réciproque est fausse. Théorème : quand tend vers l'infini. quand tend vers . Remarque : Un bon équivalent ne fait intervenir qu'un seul terme. Théorème : Si , si alors quand tend vers l'infini. Si , si alors quand tend vers . Théorème : Si , alors quand tend vers l'infini. Si , alors quand tend vers . Si alors quand tend vers l'infini. Si , alors quand tend vers . Si , si à partir d'un certain rang, alors : quand tend vers l'infini. [...]

[...] Remarque : plus est grand, meilleure est la précision. De plus, on se ramène toujours à des en étudiant . Théorème (formule de Taylor-Young) : Soit . Soit une fonction de classe au voisinage de . Alors: quand tend vers . Liste des développements limités en 0 à connaitre par cœur : Soit . . . . . . . . . . 10) . 11) . 12) . Théorème : Il existe tel que : quand tend vers l'infini. [...]

[...] Analyse asymptotique I. Négligeabilité et domination A. Généralités Définition : Soit et deux suites. On dit que est négligeable devant si : est non nulle à partir d'un certain rang On note : . Soit . On dit que est négligeable devant au voisinage de si : ne s'annule pas sur un voisinage de . On note . Théorème (croissances comparées) : en : Si . Si . Si , si . . en 0 : Si . Si , si . [...]

[...] Théorème : Si et strictement croissante, alors . , si , alors . Idem pour à la place de . Proposition : . . Ce qu'on ne peut pas faire : La somme : pour , mais . La composition à gauche : pour , mais . II. Equivalence Définition : Soit deux suites non nulles à partir d'un certain rang. On dit et sont équivalentes si : quand n tend vers l'infini et on note alors : quand n tend vers l'infini. Soit , deux fonctions. [...]