Définitions d'algèbre linéaire

Résumé du document

En dimension finie, on peut définir une affinité de rapport l comme étant « un endomorphisme diagonalisable dont l'ensemble des valeurs propres est inclus dans {1, l} » ou encore « la somme directe d'une homothétie et d'une identité ».
En dimension n, un endomorphisme diagonalisable est décomposable en un produit de n affinités au plus (...)

Extraits

[...] Autrement dit : λ est valeur propre de f Ker(f λid E ) E f λid E est pas injective . Si E est de dimension finie, on a : λ est valeur propre de f det(f λid E ) = (Voir caractéristique). Les valeurs propres d'une matrice de Mn(K) sont les valeurs propres de l'endomorphisme de Kn qu'elle représente (et ce sont aussi les valeurs propres de tout endomorphisme qu'elle représente). Deux matrices semblables ont mêmes valeurs propres (la réciproque est fausse!). [...]

[...] Elle est dite infinie s'il n'y a pas de base finie. Notation : dim(E). DIRECTE (SOMME) Voir à somme directe. DIRECTION Voir affinité. DROITE (VECTORIELLE) Espace vectoriel de dimension 1. ÉCHELONNÉE (FAMILLE / DANS UNE BASE) Soit F = ( x i = p une famille de vecteurs de matrice ij ) dans une base B = i = n . La famille F est dite échelonnée dans si, après un éventuel renumérotage des vecteurs de F et de ceux de la matrice A vérifie : 0 a i 0 j 0 et 0 + a ij= Exemple : une famille de polynômes de degrés ou de valuations distinctes est échelonnée dans la base canonique de Kn[X]. [...]

[...] i Les traces de 2 matrices semblables sont identiques. La trace d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est la trace commune à ses matrices. TRANSPOSÉE La transposée de la matrice A = ij ) M np est la matrice B = (bij ) pn définie par : b ij = a ji . t Notation : A. t L'application A A est une symétrie de Mn(K) de base l'ensemble des matrices symétriques et de direction l'ensemble des matrices antisymétriques. [...]

[...] Deux endomorphismes f et g d'un espace vectoriel E sont semblables si, pour un certain choix de base pour ils ont même matrice. CNS : GL(E) g = p f p . Sn C'est le groupe symétrique de[1,n] , c'est à dire l'ensemble des bijections de dans lui-même (ou permutations de muni de l'opération . Son ordre est SOMME DIRECTE Somme directe de sous-espaces. Soient F Fp des sous espaces de E ; soit F = F1 + . [...]

[...] Cette condition est équivalente à l'antisymétrie (en caractéristique différente de 2). Lorsque l'on dit que le déterminant est «alterné par rapport aux lignes et aux colonnes», l'on dit donc qu'un déterminant est nul lorsque 2 lignes ou 2 colonnes sont identiques. C'est cette propriété qui est à la base du fait que si l'on ajoute à une ligne (ou à une colonne) d'un déterminant une combinaison linéaire des autres, on ne modifie pas la valeur du déterminant. ANTISYMÉTRIQUE Une application n-linéaire est dite antisymétrique lorsque l'image d'un n-uplet est changée en son opposé si l'on échange 2 coefficients du n-uplet (voir aussi alterné). [...]