Algèbre bilinéaire: les formes bilinéaires symétriques, quadratiques, sesquilinéaires et hermitiennes

Thèmes abordés

Algèbre bilinéaire, formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques, formes sesquilinéaires, formes hermitiennes, mathématiques

Résumé du document

L'algèbre linéaire, est issue de la méthode des coordonnées cartésiennes pour repérer des points d'une droite, d'un plan, de l'espace R.
Cette méthode a été étendue en dimension n > 3, quitte à se passer de l'intuition géométrique immédiate. Le rôle de l'algèbre linéaire est de traiter les problèmes linéaires, c'est-à-dire ceux dont l'ensemble des solutions est naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel.

Extraits

[...] L' algèbre bilinéaire emprunte presque tout à l' algèbre linéaire et est une porte naturellement ouverte sur les notions d' orthogonalité, isométries et d' espaces euclidiens entre autres Chapitre 1 FORMES BILINEAIRES SYMETRIQUES, FORMES QUADRATIQUES(en dimension nie) 1.1 Matrice d' une forme bilinéaire Rappel Etant donné une base de dimension = (e1 ; e2 ; en ) d' espace vectoriel un n X ( ) qui à x = xi ei 2 E ; i=1 x x associe la matrice colonne X = M at ) = : xn E est un K-espace vectoriel. On appelle forme bilinéaire sur toute application f E 7 ! f linéaire par rapport à x et linéaire par rapport à y. [...]

[...] Linéarité par rapport à x se traduit par : f + x0 ; = f + f (x0 ; 8x; x0 ; y 2 f ( = f On note L2 = l' ensemble des formes bilinéaires. Soit = (e1 ; e2 ; en ) une base de Soit f 2 L2 ; 8 2 E 2 ; f Il y a un isomorphisme $ : E ! Mn 4 n X xi ei ; y = i=1 on a : f = f n X yj ej ; j=1 n X xi ei ; i=1 n X yj ej j=1 ! [...]

[...] on i=1 f Formes quadratiques On appelle forme quadratique sur le K-espace vectoriel toute application q : E ! K telle qu' existe une base dans laquelle il q est un polynôme de degré 2 par rapport aux variables coordonnées x1 ; x2 ; xn de c' est-à-dire si x 2 q ( = 2 q : n X Avec x = xi ei on a i=1 q = n n XX aij xi xj où aij 2 8i; On note Q = l' ensemble des formes quadratiques sur i=1 Q est un K-espace vectoriel. [...]

[...] f = q est une forme quadratique sur : S2 ! Q f 7 ! q telle que q = f ; x 2 est un isomorphisme de K-espaces vectoriels. [...]

[...] = n n XX f (ei ; ej ) xi yj : i=1 j=1 On pose aij = f (ei ; ej ) et A = (aij ) = M at ) : Réprésentation matricielle Soit = (e1 ; e2 ; en ) une base de f 2 L2 ; A = M at ) : n n X X xi ei ; yj ej ; X = M at ) ; i=1 j=1 Y = M at ) ; f = AY Exercice E = R2 E E 7 ! f = 3x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 x2 y2 : x = (x1 ; x2 y = (y1 ; y2 ) 2 E 1. Montrer que f 2 L2 : 2. [...]