L'ajustement des séries statistiques à deux variables

Résumé du document

Exemple 1 : Pour une entreprise, les dépenses publicitaires, exprimées en dizaines de milliers d'euros, ainsi que les chiffres d'affaires correspondants, exprimés en centaines de milliers d'euros, sont indiqués, année par année, dans le tableau ci-dessous (...)

Tenter d'ajuster linéairement le chiffre d'affaires en fonction des dépenses de publicité, c'est chercher à établir un lien affine entre x et y, c'est-à-dire une relation du type.
Si les points Mi de coordonnées (xi;yi) sont alignés, la relation précédente existe et ce n'est autre que l'équation de la droite qui passe par tous les points Mi. Si les points ne sont pas alignés, alors cette relation ne sera qu'une approximation qu'on espère bonne.
Pour vérifier la validité de l'ajustement, on commence donc par placer les points Mi dans un repère, et on examine s'ils sont sensiblement alignés.

(...) C'est ce tracé qui a été effectué dans le graphique n°1.
Une fois placé le nuage de points, on trace une droite qui passe le plus près possible de tous les points. On repère ensuite deux points de cette droite par lecture graphique et on établit son équation sous la forme. Ici la droite Dj passe par A(1;1) et B(6;8). On détermine a et b en écrivant que les deux points appartiennent à la droite et donc que leurs coordonnées vérifient l'équation. On résout ensuite le système obtenu (...)

On peut maintenant faire quelques prévisions : quel chiffre d'affaires obtiendrait-on en 2002 si on envisageait de consacrer cette année 110000? (soit 11X10 4 euros) à la publicité ?
Il suffit de faire x=11 dans l'équation précédente et on lit y=15 (soit 15X10 5 euros).
Cette méthode rapide présente l'inconvénient de donner des résultats différents d'un utilisateur à l'autre et dépend beaucoup du tour de main de l'ajusteur. Pour ces raisons on lui préfère les méthodes plus rigoureuses qui vont suivre (...)

Extraits

[...] On revient dans l'écran principal en appuyant sur EXIT autant que nécessaire. En appuyant sur CALC puis sur 2VAR et en faisant si nécessaire défiler le curseur vers le bas, on voit s'afficher tous les éléments qui ont permis les calculs précédents. A ce niveau, on ne peut les manipuler. Pour ce faire, il faut retourner dans le menu RUN, appuyer sur la touche VARS (rappelons que c'est ici que la machine stocke tous les résultats calculés), puis sur STAT puis sur X ou Y suivant ce que l'on cherche. [...]

[...] On peut donc en déduire, selon ce modèle, que pour obtenir un CA de 16(105 euros, il faut dépenser 12,68(104 euros en publicité Tableur 1 Graphique On peut directement tracer la droite des moindres carrés et faire afficher son équation et le coefficient de détermination sur le graphique après avoir construit le nuage de point. Il suffit pour cela de sélectionner ce nuage en cliquant sur l'un de ses points et de maintenir ensuite enfoncer le bouton droit de la souris. On voit alors apparaître la fenêtre ci-dessous et on valide ajouter une courbe de tendance On découvre alors l'écran ci-dessous. Par défaut il est proposé un ajustement linéaire, ce qu'on accepte. On clique sur l'onglet Options Apparaît alors l'écran ci-dessous. [...]

[...] On constate que la parabole est celle des trois courbes qui passe le plus près des points. C'est aussi celle pour laquelle le coefficient de corrélation est le plus élevé. Si on veut faire des prévisions pour l'année 93 (semestres n°11 et on obtient : A l'aide de la fonction pour x=11, y=4128 milliers d'euros, et pour x=12, y=4912 milliers d'euros. A l'aide de la fonction affine les résultats sont respectivement 3207 milliers d'euros et 3557 milliers d'euros, manifestement sous-évalués. [...]

[...] Calculatrice La calculatrice Graph65 de CASIO (comme beaucoup d'autres) possède l'ajustement puissance et il n'est donc pas nécessaire de construire préalablement ni . On introduit les valeurs de x en List1 et celles de y en List2 (ces listes ne doivent contenir que des valeurs strictement positives). On suppose que la calculatrice est paramétrée comme il est indiqué au paragraphe En appuyant sur CALC puis REG puis F6 (pour changer de page) et enfin sur Pwr on obtient l'écran ci-contre. [...]

[...] On peut déplacer et reformater comme on le désire ce dernier objet Feuille de calcul Le tableur EXCEL possède parmi ses fonctions statistiques celles qui permettent de calculer les principaux paramètres de l'ajustement. Ces fonctions ont un nom évocateur. Les valeurs ont été calculées dans le champ D3:D9, et la syntaxe des fonctions fournissant ces valeurs est indiquée dans le champ E3:E9. Les fonctions PREVISION et TENDANCE sont identiques mais ont une syntaxe différente. On remarquera qu'on fournit d'abord le champ des y avant celui des x AJUSTEMENT NON LINEAIRE Dans de nombreux cas l'ajustement linéaire, moyennant une transformation judicieuse sur les données, peut permettre de découvrir des lois non linéaires. [...]