Système proie-prédateur de Volterra-Lotka

Thèmes abordés

Système proie-prédateur, Volterra-Lotka, notation, mise en équation, point d'équilibre, Python, structures spatiales complexes, automates cellulaires, structures de Turing, Spiral waves, chaos spatio-temporel, finger prints, modèle proie prédateur, équation de prédation

Résumé du document

Il s'agit de la présentation des résultats obtenus à l'aide de codes Python, de structures spatiales complexes, d'automates cellulaires, de structures de Turing, de "Spiral waves", de chaos spatio-temporels ou encore des "finger prints" qui découlent de ce modèle.

Extraits

[...] On borne y de la mˆeme mani`ere. Finalement, les solutions maximales sont donc bien d´efinies sur tout R Points d'´ equilibres et leurs voisinage Pour le probl`eme de Cauchy donn´e par f : U ⊂ Rn → Rn et u0 ∈ Rn , on donne des d´efinitions : D´ efinition 1 • u ∈ Rn est un point d'´equilibre si f = 0 • un point d'´equilibre u ∈ Rn est dit stable si ∀ε > ∃η > u0 − u . [...]

[...] p y p l o t a s p l t 8 a =3. b=1. c =2. d=1. x0 =1. y0 =2. T=1000 h=0.01 def f ) : r e p = np . [...]

[...] Les moyennes sur les p´eriodes vont donc diminuer pour les pr´edateurs, et augmenter pour les proies. Ce ph´enom`ene a ´et´e constat´e dans les ´ecosyst`emes r´eels : quand la p`eche cesse sur une zone, le nombre de sardines augmente Pour aller plus loin On peut consid´erer beaucoup de variations de syst`eme de Volterra-Lotka, par exemple si la nourriture des proies vient cesser, ou bien d'autres modifications li´ees ` a l'environnement. On peut aussi s'orienter vers des mod`eles avec de nombreuses esp`eces qui interragissent (predator - prey networks). [...]

[...] On suppose que le nombre effectif (dans de proies et de pr´edateurs est tr`es grand. Ainsi, en divisant par un grand nombre, on se ram`ene ` a des variables r´eelles suppos´ees continues. L'´evolution du syst`eme d´epend alors de quatre param`etres r´eels strictement positives : • a est le taux de croissance des proies en l'absence de pr´edateurs, • c est la taux de disparition des pr´edateurs en l'absence de proies, • b est le taux de mortalit´e des proies li´e la pr´esence de pr´edateurs, • d est le taux de croissance des pr´edateurs li´e la pr´esence de proies. [...]

[...] y y(−c + dx) Comme f est de classe C 1 sur R elle est en particulier localement lipschitzienne : le th´eor`eme de Cauchy-Lipshitz garantit l'existence des solutions maximales. Un corollaire de l'unicit´e dans le th´eor`eme de Cauchy-Lipshitz autonome assure que les trajectoires des diff´erentes solutions sont disjointes. On en d´eduit la positivit´e des solutions. Plus pr´ecisemment : Proposition 1 • Si x0 = 0 alors pour tout = 0. • S'il existe t0 tel que x(t0 ) = 0 alors ∀t, = 0 • Si x0 > 0 alors ∀t, > 0. • De mˆeme pour y. [...]