La représentation informatique des nombres à écritures infinies

Thèmes abordés

Calcul numérique, nombre, écriture, calculatrice, ordinateur, représentation mathématique, gestion des nombres, encodage, les systèmes informatiques, représentation informatique

Résumé du document

L'utilisation des outils de calcul numérique a révolutionné la relation qu'on a avec les calculs. Ces outils sont divers et variés : la calculatrice (basique ou scientifique), le smartphone (avec des applications de calcul), l'ordinateur (tableur, logiciels de calcul scientifique de tous genres), le supercalculateur (avec des applications plus avancées de calcul formel, de modélisation physique, etc).

Ces appareils ont leur propre représentation des nombres qui diffèrent de notre représentation mathématique pure et étant donné leurs ressources finies (mémoire, capacité de calcul, espace de stockage), ils ont du mal à représenter les nombres à écritures infinies (les nombres irrationnels, les nombres infiniment petits ou infiniment grands).

Extraits

[...] Dans ces cas, certaines librairies permettent de représenter des nombres avec des précisions supérieures qui s'adaptent à la précision requise. Ces librairies utilisent des représentations internes extensibles et qui permettent pour les entiers une précision absolue et pour les réels une précision bien plus supérieure à celle du standard IEEE. Ces librairies utilisent ce qu'on appelle le calcul symbolique ou formel pour conserver la précision des nombres à travers les différentes opérations. Ces outils simulent les opérations de calcul exacts qu'on effectue en mathématiques et sont capables de développer, réduire, intégrer et dériver ainsi que d'effectuer des calculs complexes. [...]

[...] Le résultat final peut s'afficher sous forme exacte avec des irrationnels (comme PI ou 2 Parmi ces outils, on peut citer Mapple, Mathematica, WolframAlpha. Le prix à payer pour la précision accrue et absolue des calculs formels est le coût des calculs en termes de temps, de mémoire et de ressources de calcul informatique. Un calcul flottant en C est nettement plus rapide qu'un calcul précis avec Mapple par exemple. Ceci réduit par conséquent le nombre d'applications qui peuvent bénéficier de ces outils car les calculs nécessaires ne peuvent pas être effectués en un temps raisonnable. [...]

[...] Représentation des nombres entiers: Les nombres entiers sont codés en dédiant un bit pour le signe et le reste pour encoder le nombre en base binaire. Donc pour un nombre signé encodé sur N bit, on peut encoder des nombres entre -2N-1 et 2N-1-1 Exemple : - Le plus grand entier non-signé codé sur 32b est 232-1= - Le plus grand entier non-signé codé sur 64b est 264 - 1 = La plupart des systèmes informatiques en utilisation actuellement supportent des représentations des nombres jusqu'à 64b (avec des représentations intermédiaires de 8b, 16b et 32b). [...]

[...] Cependant, de par leur définition, ils ne peuvent pas encoder parfaitement tous les nombres décimaux. Par conséquent, les calculs flottant utilisent les arrondis quand ils sont incapables de représenter un nombre. C'est la représentation flottante qui est très largement répandue et qui est utilisée dans les calculs scientifiques qui n'exigent pas une précision absolue. Cas des nombres à écriture infinie : Certains nombres sont à écriture infinie ou dépassant les capacités de codages définies dans la partie précédente. Ces nombres sont gérés principalement de deux manières: l'approximation (la plus répandue) et le calcul formel (très spécifique). [...]

[...] Bourse de Vancouver : En 1982, un indice avec valeur nominale de 1000 qui a été mal tronqué à cause du format utilisé a causé une perte artificielle de 50% de l'indice au bout de 22 mois de troncature et d'arrondi. Conclusion : La représentation des nombres réels en informatique est importante car elle n'est pas très intuitive. Elle pourrait avoir des effets pervers sur nos calculs si elle n'est pas prise en compte lors des choix de la représentation numérique et de la précision nécessaire. Il faut choisir l'outil de calcul avec sagesse pour concilier la vitesse du calcul et sa précision. [...]