Projet Numérique en Python : Gravitation et orbites

Thèmes abordés

Python, gravité, orbite, physique, algorithme, valeur numérique, résolution numérique, problème de physique, accélération, vitesse initiale, variation de la vitesse, propagation numérique

Résumé du document

Ce document contient un rapport en langage interprété Python. Le rapport détaille le travail réalisé, décrivant et justifiant les approches choisies, les méthodes utilisées et les résultats obtenus. Un problème de physique est analysé, une méthode pour le résoudre est également proposée, et un programme qui fonctionne et résout effectivement le problème est réalisé. L'analyse en termes de grandeurs physiques pertinentes (quelles conclusions physiques peut-on en tirer ?) et la critique des résultats obtenus sont également incluses.

Extraits

[...] Horizon de temps : T = 20 ans Soleil maintenu fixe La méthode classique d'Euler n'est pas stable car non conservative. La Terre s'éloigne au fur et à mesure du Soleil. La version asymétrique de la méthode d'Euler est plus stable que la méthode classique. On voit bien que la Terre décrit une ellipse autour du Soleil. La variante de Verlet est elle aussi stable. A ce stade on n'est pas capable de dire si elle est plus robuste que la méthode d'Euler asymétrique. Pour le reste de l'étude, on privilégiera la méthode de Verlet. [...]

[...] La trajectoire est bien une ellipse. Deuxième loi de Kepler Pour la deuxième loi de Kepler, on va vérifier la loi des Aires, c'est-à-dire que l'aire balayée pendant un même intervalle de temps Δt est constant. On va donc vérifier que l'aire élémentaire dA balayée pendant une durée élémentaire δt est constante. dA=12r∧vδt Numériquement on construit donc le vecteur dA tel que : dAk=12xkTvykT-ykTvxkTδt On voit sur la courbe que l'aire élémentaire dA est quasiment constante au fil du temps (l'erreur augmente au fil du temps du à la précision des calculs), avec une erreur de l'ordre de 0.1% de la valeur moyenne. [...]

[...] Etude de la variation de la vitesse initiale de la Terre On fait varier la vitesse initiale vi entre 15 et 42 km/s sans modifier le pas de temps, ni la position initiale. On constate que plus la vitesse initiale est grande, plus l'orbite sera de grande taille et excentrique. Au-delà d'une certaine vitesse limite, la Terre quitte l'attraction du Soleil et sa trajectoire devient hyperbolique. A cette vitesse limite vlim la trajectoire est parabolique. Cette vitesse est appelée vitesse de libération et exprimée par vlim=2GMSrST. Numériquement on obtient vlim = 42.121 km/s, ce qui est cohérent avec les observations. [...]

[...] Projet Numérique en Python : Gravitation et orbites Position du problème physique Problème à deux corps Le problème posé est un problème à deux corps classiques de mécanique spatiale, dans lequel Soleil et Terre sont les deux corps. Les deux corps sont en interaction gravitationnelle, avec FS-->T=-FT-->S=-GMSMTrST2uST. On notera r=rt=rST=rSTuST, ce qui donne FS-->T=-FT-->S=-GMSMTr3r. Accélération des deux corps On se ramène à un problème mono-corps équivalent en posant le point O centre de masse du système {Soleil, Terre}. On peut alors écrire par définition du point O que MSOS+MTOT=0. [...]

[...] On a les conditions initiales suivantes : r0S=0,0;r0T=rST,0;r0L=rST+rTL,0 v0S=0,0;v0T=0,vi;v0L=0,vi+vL Valeurs numériques ML=7.3477?1022 kg rTL=381500000 m vL=1000 m/s Résultats de simulation Dans la simulation on a les trois corps en mouvement : La Terre et la Lune (quasiment confondues) décrivent une orbite quasi-elliptique autour du Soleil. La présence de la Lune a une influence sur le mouvement de la Terre (voir la courbe du mouvement de la Terre par rapport à une orbite purement elliptique, sans la Lune), à l'instar de la Terre qui influe sur le mouvement du Soleil. La Lune décrit une orbite elliptique autour de la Terre. [...]