Calcul formel et numérique sur MatLab

Thèmes abordés

Calcul numérique, MatLab, équation différentielle, système linéaire, arithmétique, approximation, erreur

Résumé du document

Ce document est un examen de calcul numérique de l'Université de Bruxelles. Il contient 4 exercices corrigés.

Extraits

[...] matricule est choisie aléatoirement. x0 = √matricule d0= x0*2= matricule Quand on parle d'erreur, il s'agit en fait de la valeur absolue de la distance entre la fonction d'approximation et la fonction réel. On veut ici pouvoir borner cette erreur et en exprimer la borne supérieure (l'erreur maximale) : soit résoudre ≤K où E représente l'erreur et K un grand nombre. En considérant une fonction dont la dérivée fn+1x est bornée en C'est-à-dire que fn+1x ≤M , x ∈a,b et où M = √d0. [...]

[...] Calcul formel et numérique sur MatLab Question 1 : Représentation machine Ici, posons d = 479901 xi = 13.0813 est le résulat rendu par matlab pour d=479901. L'équation pour l'ensemble des xi donnerai ceci : xi i=0 à 9=(10-10t-ex+i) (10e-t-1). Voici le résultat fourni par MatLab pour la routine, pour d = 479901 : Dans la routine proposée ci-dessus, la valeur de t = 16, t représente le nombre de chiffre significatifs. Ce qui explique que la représentation matlab soit plus précise que 16 chiffres mais moins que 17 car la En effet, comme le montre la capture d'écran ci-dessus, les résultats en sortie contiennent plus de chiffres que la représentation de Matlab (28 chiffres). [...]

[...] Donc la boucle while tourne une fois supplémentaire. Question 3 : Systèmes linéaires En considérant l'itération xi+1=xi+ ωb- Axi, Sa matrice d'itération B correspond à : xi+1=Bxi+ ωb- Axi Le vecteur f à : ωb- Axi On dit que la matrice itérative converge si : limi-->infinityx-xi=0 Le sous ensemble ω qui donne lui à une itération convergente : La valeur de ω qui maximise la vitesse de convergence : ω=0 car Supposons que la suite converge vers le nombre ξ. [...]

[...] Si est vérifiée pour ω = alors la convergence de la suite est dite super-linéaire. Donc la vitesse de convergence est maximisée pour ω=0. Modification du code pour effectuer 30 itérations : Discuter les 3 graphes : Question 4 : EDO Équations différentielles = L'équation différentielle possède la solution analytique suivante : = -sinKx2-xKx2+x + PIk On cherche à trouver les valeurs de k et K : La valeur de = y0 = 1 et non pas O car sin(0) ou -sin(0) donc 0. [...]