Analyse numérique

Thèmes abordés

Analyse numérique, programmation informatique, polygone, représentation graphique, Scilab, formule de récurrence, trajectoire, vitesse, vecteur, équation du mouvement, schéma numérique, loi de Newton

Résumé du document

Ce document propose deux exercices corrigés d'analyse numérique de niveau licence.

Extraits

[...] Comme pour la question on doit initialiser la boucle à n=2 pour ne pas générer une suite constante. On calcule donc A22=22-1s2=2 en utilisant la formule pour initialiser la boucle. On obtient alors avec Scilab le graphe suivant : On vient bien cette fois qu'on converge vers une valeur unique PI≈3.1415927. Exercice 2 Partie I : Modélisation du problème Question 1 L'équation du mouvement s'obtient en utilisant le Principe Fondamental de la Dynamique (ou seconde Loi de Newton), et en l'appliquant à la sonde. D'après le PFD on a : Fext-->sonde=msondeasonde avec asonde l'accélération de la sonde. [...]

[...] On a An égale à n fois l'aire du triangle ABC. Après un calcul simple, on écrit que ∀n>=1, An=n2sinαn. Question 1 ∀p>=1, Ap=p2sinαp donc pour p=2n on peut écrire A2n=2n2sinα2n=2n-1sinα2n On notera sn=sinα2n pour n>=0. sn+1=sinα2n+1=sin2PI2n+1=sin122PI2n=sin12α2n D'après les règles classiques de trigonométrie, on peut écrire ∀x∈R cos2x=cos2x-sin2x=1-2sin2x donc sin2x=1-cos2x2=1-1-sin22x2 (on a utilisé le fait que cos2x+sin2x=1) Pour x=12α2n on obtient : D'où : sin212α2n=1-1-sin2212α2n2 donc sin2α2n+1=1-1-sin2α2n2⇒sn+12=1-1-sn22 Et finalement : ∀n>=0, sn+1=1-1-sn22 et A2n=2n-1sn . Question 2 On sait que sin⁡(x) lorsque donc sinαn=sin2PIn~2PIn lorsque n-->+infinity D'où An=n2sinαn~n22PIn=PI lorsque n-->+infinity. [...]

[...] On va donc utiliser la formule de récurrence pour n>=2. Le graphe obtenu à l'aide de Scilab montre qu'on converge assez rapidement vers une valeur qui semble être PI≈ mais vers la 30[ème] itération de la boucle on a un comportement instable, puis tous les termes de la suite deviennent nuls. En effet, la suite snn converge très rapidement vers et à cause d'erreurs d'arrondis, le terme 1-sn2 finira par être remplacé par 1 (sn2 devient vite négligeable devant et donc sn finira par vouloir strictement 0 (on a vu que si un terme de la suite vaut 0 alors tous les suivants vaudront 0). [...]

[...] D'après ⋆ on a : d2xtdt2=Sxxt,yt,td2ytdt2=Syxt,yt,t, donc dvxtdt=Sxxt,yt,tdvytdt=Syxt,yt,t D'après la méthode d'Euler explicite on peut écrire que : ui+1-uiΔt≃Sxxti,yti,tivi+1-viΔt≃Syxti,yti,ti, d'où : ui+1≃ui+ΔtSxxti,yti,tivi+1≃vi+ΔtSyxti,yti,ti. Question 4 On note xi, yi les approximations des composantes du vecteur position xt, yt à l'instant ti. D'après la méthode d'Euler explicite on peut écrire que : xi+1-xiΔt≃vxtiyi+1-yiΔt≃vyti, d'où : xi+1=xi+Δtuiyi+1=yi+Δtvi L'équation de la question 3 devient alors : ui+1=ui+ΔtSxxi,yi,tivi+1=vi+ΔtSyxi,yi,ti Partie III : Programmation Question 5 On introduit dans Scilab toutes les données nécessaires à la résolution du problème. Voir fichier exercice2.sce. [...]

[...] On aura alors la suite A2nn qui vaudra 0 à partir d'un certain rang, ce qui est ce qu'on observe. Question 4 La méthode numérique précédente n'est pas stable, on va donc la modifier. L'idée est ici d'utiliser le cosinus de α2n au lieu du sinus et d'établir une relation de récurrence sur la suite A2nn sachant que celle-ci admet une limite. On sait que sin2x=2sinxcosx donc sinx=12sin2xcosx. Pour x=12α2n on obtient : sin12α2n=12sinα2ncos12α2n i.e. sn+1=12sncn+1, où cn=cosα2n. (comme pour le sinus on a cn+1=cosα2n+1=cos2PI2n+1=cos122PI2n=cos12α2n) On sait que cos2x=1+cos2x2 donc cosx=1+cos2x2. [...]