Comment modéliser le phénomène d'inclinaison de la Tour de Pise

Résumé du document

La Tour de Pise (en italien la Torre Pendente) et le phénomène d'inclinaison auquel elle est sujette constituent une des curiosités architecturales les plus célèbres et les plus spectaculaires de l'Histoire de l'art ; associée aux expériences de Galileo Galilei sur la chute des corps, elle est le symbole par excellence des progrès scientifiques et techniques réalisés en Italie au cours de la Renaissance ;
Force est de constater que, si sa renommée est planétaire, l'explication de ce phénomène unique demeure méconnue de ce large public, et n'est pas satisfaite par les trop multiples et complexes investigations réalisées par différents organismes au cours des années.
Le TPE qui suit a donc été pensé et réalisé afin de proposer une étude générale du phénomène accessible – nécessairement – à des élèves de classe de 1re Scientifique.

Le TPE qui suit, réalisé dans le cadre de l'objet d'étude « Modèle et modélisation » a donc pour finalité de proposer une simulation, la plus précise et fidèle possible, du phénomène d'inclinaison de la Tour de Pise, à l'aide du logiciel de représentation 3D SolidWorks. En partant des observations et données « réelles » concernant la Tour et le sous-sol environnant, et en les transposant, en termes « virtuels » de la modélisation, dans la limite des capacités du logiciel, il sera ainsi possible d'étudier le phénomène réel tout en en concevant, au fur et à mesure, la représentation informatique. La démarche sera divisée en trois parties : il s'agira d'abord de « construire » la Tour en tant qu'édifice aux propriétés mécaniques proprement définies, puis de représenter de manière simplifiée le sol qui la soutient, pour enfin étudier les résultats obtenus par cette simulation de mouvement et les mettre en regard avec les données de l'étude du phénomène réel.

Extraits

[...] La modélisation étant réalisée, on le rappelle, à l'échelle 1/100ème, et compte tenu du système d'unités du logiciel, toutes les mesures utilisées ici seront exprimées en millimètres de sorte qu'un mètre réel correspondent à dix millimètres virtuels L'esquisse étant terminée, il reste à ajouter de la profondeur pour obtenir un solide en trois dimensions. En cliquant sur Quitter l'esquisse le logiciel propose de le faire immédiatement ; le type d'extrusion par défaut est Borgne c'est-à-dire que la profondeur est entrée manuellement. [...]

[...] En revanche, de nombreuses sources historiographiques semblent indiquer que le phénomène aurait pour origine le caractère marécageux du terrain sur lequel est construit la Tour. Mise en relation avec le caractère argileux des terrains, cette donnée expliquerait ainsi de telles divergences dans leur comportement mécanique. D'après ce schéma représentant les nappes phréatiques du sous-sol environnant la Tour, on remarque un gradient important d'épaisseur de ces nappes entre le nord (orienté à gauche du schéma) et le sud (orienté donc à droite) ; le terrain présente un réseau phréatique particulièrement hétérogène, avec par conséquent une concentration d'eau beaucoup plus importante au sud. [...]

[...] Cette perte de cohésion entre les feuillets à l'échelle microscopique entraine donc, à l'échelle macroscopique une perte d'adhérence, et une augmentation de la déformabilité de la roche. Ces déformations de l'argile peuvent mettre en jeu des forces de l'ordre de plusieurs dizaines de tonnes par mètre carré. Dans notre situation, les nappes d'eau étant plus importantes au sud qu'au nord, l'argile, par son hydratation, est donc plus malléable, déformable au sud, provoquant ainsi l'enfoncement de la Tour sur son flanc sud. Cette situation est modélisable de la même manière que pour la Tour, en créant deux solides constituant le sol, de propriétés mécaniques différentes. [...]

[...] Or on peut noter cet angle comme la somme de l'angle ζ entre la verticale menée de V7 et la droite (V1V7) constituant la façade sud de la Tour, et de l'angle δ entre cette même droite (V1V7) et la parallèle à c'est-à-dire en somme l'angle qui différencie la Tour d'un cylindre régulier et la fait tendre vers une forme plus conique. On a donc la première formule θ = ζ + δ. δ est une constante puisqu'il ne dépend que de la forme de la Tour elle- même ; il est donné à δ = 0°33'. Considérons à présent l'angle ζ, et les projetés respectifs V1' et V7' de V1 et V7 sur l'horizontale. Si l'on confond V1 et V1' on obtient bien le triangle rectangle V7V7'V1 (formé par la verticale et l'horizontale). [...]

[...] On en retient du moins un ordre de grandeur de 100°. La détermination de l'inclinaison donnée par les résultats de la modélisation est pratiquement immédiate : le logiciel est capable de déterminer la distance entre n'importe quel point de la Tour dans sa position initiale et dans sa position finale. Au sommet de la Tour on note ainsi un déplacement de -4m soit -1mm ; le centre du cercle de base de la Tour a suivi un déplacement parfaitement négligeable (inférieur à on considère qu'il est resté fixe au cours du mouvement : le triangle formé par les sommets centraux de la Tour dans sa position initiale puis finale et le centre du cercle de base demeuré fixe est donc isocèle les deux grands côtés étant formés par la hauteur de la Tour, constante à 584mm. [...]