Introduction aux files d'attente

Thèmes abordés

Warm-up, simulation, notation de Kendall, théorème de Little, files d’attente

Résumé du document

Un système de service est composé :
- D'un ou de plusieurs serveurs qui délivrent un service à des clients,
- D'une capacité d'attente dans laquelle les clients patientent lorsque tous les serveurs sont occupés.

Extraits

[...] Ces v.a., ainsi que leurs espérance et distribution dépendent, a priori, de l'instant T où elles sont considérées. Ce n'est que sous l'hypothèse de stationnarité du système (faite le plus souvent!) que ces mesures de performance deviennent indépendantes de T. Lors de l'étude d'une file d'attente, on cherchera principalement à estimer l'espérance, en régime stationnaire, des grandeurs précédentes, ainsi que, parfois, d'autres valeurs caractérisant leur distribution (par exemple, la variance) 17 Simulation par événements discrets d'une file G/G/1 Le système considéré est une file d'attente du type G/G/1. [...]

[...] Tout client arrivant dans le système est donc immédiatement pris en charge par le serveur, si celui-ci est libre, autrement il rejoint une queue de capacité infinie, dont la règle de priorité est FIFO. Les intervalles de temps entre deux arrivées successives de clients forment une suite {αi} de v.a. indépendantes obéissant toutes à la même fonction de distribution Fα avec E[α]=1/λ. [...]

[...] De même, les durées de service des clients successifs forment une suite {βi} de v.a. [...]

[...] Introduction aux files d'attente Définition Un système de service est composé : d'un ou de plusieurs serveurs qui délivrent un service à des clients d'une capacité d'attente dans laquelle les clients patientent lorsque tous les serveurs sont occupés. SC : source de clients A : Arrivées D : Departs 2 File d'attente simple Composée de : Arrivées Attente Service Départs Processus d'arrivée Discipline de service Processus de service Processus de déaprt 3 Classification des files d'attente simples La classification des files d'attente simples se base principalement sur trois éléments : Le processus stochastique décrivant l'arrivée des clients dans le système : spécifie les instants auxquels les clients arrivent dans le système; Sous l'hypothèse que les clients arrivent de manière isolée et indépendamment les uns des autres, les intervalles de temps entre deux arrivées successives forment une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) 4 Lois de probabilités les plus couramment rencontrées M la loi exponentielle (abréviation de processus Markovien ou Memoryless) : un processus de Poisson (les intervalles de temps entre deux arrivées successives de clients sont des v.a. [...]

[...] i.i.d. suivant une loi d'Erlang d'ordre k (somme de k variables exponentielles i.i.d.) ; G la loi générale : aucune hypothèse particulière n'est faite sur le processus d'arrivée (un processus de renouvellement quelconque) 5 Le processus de service La loi de probabilité décrivant la durée des services : les temps de service nécessaires au traitement des clients sont supposés être des réalisations de variables aléatoires iid les mêmes symboles Ek, sont utilisés pour décrire les processus de service 6 Le nombre de serveurs il correspond au nombre maximal de clients pouvant être traités simultanément (en parallèle) tous ces serveurs sont supposés identiques, en particulier les temps de service sont indépendants d'un serveur à l'autre et distribués selon la même loi de probabilité Ek, Caractéristiques supplémentaires La capacité totale du système : le nombre maximal de clients pouvant être présents dans le système à un instant quelconque: égal à : nombre de serveurs + nombre de places d'attente disponibles ; si un client arrive dans une file ayant atteint sa capacité maximale d'accueil, il est refoulé et doit quitter le système sans avoir été servi Caractéristiques supplémentaires (suite) Le nombre total de clients potentiels : = la capacité de la source externe = la taille de la population en général, le nombre de clients susceptibles d'accéder au serveur est supposé illimité certaines situations sont, cependant, caractérisées par un nombre fixe et limité de clients potentiels : chaque client présent dans le système diminue alors le nombre d'arrivées potentielles, le taux d'arrivée dans la file dépendra donc du nombre de clients présents dans le système ; le processus d'arrivée décrira le temps nécessaire à un client entre le moment où il quitte le système et celui où il y revient Caractéristiques supplémentaires (suite) La discipline de la file : = discipline de service = la règle de priorité déterminant l'ordre dans lequel les clients vont accéder à la ressource modélisée par le serveur Les disciplines de service classiques sont : - FIFO : la discipline employée le plus souvent, et celle qui sera admise par défaut - LIFO : les clients en attente forment une pile - SIRO : le prochain client servi est choisi au hasard parmi tous ceux en attente service in random order - RR (Round Robin) : pour les serveurs multi-tâches, clients servis à tour de rôle pendant un quantum de temps - PS (Processor Sharing) : le RR lorsque le quantum tend vers zéro 10 La notation de Kendall Permet de ramener la description textuelle des différents éléments constituant une file d'attente simple à une formule symbolique - version étendue : le modèle est spécifié par la suite de six symboles : A/S/m/K/P-D A : nature du processus d'arrivée S : nature du processus de service m : nombre de serveurs K : capacité d'accueil de la file P : taille de la population D : discipline de la file OBS : quand ils sont absents, et valent + infini et est la discipline FIFO 11 Notations et Relations fondamentales des files d'attente = le nombre de clients présents dans le système à un instant quelconque t = le nombre d'entrées de clients dans le système dans l'intervalle de temps = le nombre de départs de clients du système dans l'intervalle de temps le nombre de fins de service durant l'intervalle ) On obtient la relation fondamentale : = + pour s > Notations et Relations fondamentales des files d'attente (suite) Si : θ = la durée du service Ts = le temps passé par un client dans le système Tf = le temps passé par le même client dans la file Alors : Ts = Tf + θ 13 Le théorème de Little (1961) Soit un système en régime stationnaire, alors : N = λ où : N = le nombre moyen de clients dans le système λ = le taux moyen d ' arrivée des clients dans le système T = le temps moyen de séjour d ' un client dans le système 14 Mesures de performance d'une file d'attente intérêts : Pour déterminer : les performances d'un système, les effets d'un changement, Ou bien Pour identifier des critères et des mesures qui permettraient de saisir qualitativement et quantitativement son fonctionnement 15 Mesures de performance d'une file d'attente simple Le nombre N de clients dans le système Le temps de séjour dans le système T Le nombre Q de clients en attente Le temps d'attente W d'un client Le taux d'occupation U du ou des serveurs 16 Remarque Toutes ces grandeurs sont aléatoires ! [...]