Introduction aux fractales

Résumé du document

Depuis quelques années, de nombreux logiciels intègrent des procédés de rendus, de cryptographie, de compression fractale. De même, sur Internet, de nombreux sites présentant des bibliothèques d'images fractales et insistant sur l'association art & mathématiques peuvent être consultes. Mais face à ce phénomène de "mode", de nombreuses personnes semblent perdus et ne comprennent pas les procédés/techniques mis en oeuvre, voire même l'essence même du terme "fractale" (...)

Extraits

[...] Avec cette méthode on balaye un certain nombre de points dont les coordonnées sont comprises entre ) et ( ) Programmation : Nous allons essaye d'afficher une fractale Julia générée a partir de la suite complexe : = + C avec C = 0.3 + 0.7 Pour des raisons d'optimisation nous allons décomposer z en x + iy et donc élaborer 2 suites : = + Re( C ) = + Im( C ) Soit z un nombre complexe. On pose z=x + iy et C = Cx + Cy i + C = + = - + Cx + i ( 2 x * y + Cy ) Ainsi + = - + Cx et + = 2 x*y + Cy Des lors il nous faut créer deux boucles permettant de balayer un ensemble de points de l'espace a 2 dimensions danslaquelle vit la fractale. [...]

[...] Soit une fonction répétée successivement pour générer une fractale. Par exemple pour une fractale du type Julia + C (avec Z et C Soit PK(Z) le résultat de l'itération de la fonction P pour K itérations. On peut tout aussi bien utiliser la notation PKC(Z) si la fonction P possède un paramètre C (ce que nous allons considérer dans l'exemple suivant). Soit = inf{ PKC(0) , } est la plus grande borne inférieure des images de zéro pour autant d'itérations que l'on souhaite. [...]

[...] Introduction : Depuis quelques années, de nombreux logiciels intègrent des procédés de rendus, de cryptographie, de compression fractale. De même, sur Internet, de nombreux sites présentant des bibliothèques d'images fractales et insistant sur l'association art & mathématiques peuvent être consultes. Mais face à ce phénomène de mode de nombreuses personnes semblent perdus et ne comprennent pas les procédés/techniques mis en œuvre, voire même l'essence même du terme fractale Qu'est-ce qu'une fractale ? Avant Mandelbrot : le développement de l'idée de fractale : A l'image de nouvelles formes de vie, les nouvelles branches mathématiques et scientifiques proviennent d'une évolution. [...]

[...] Les points qui approchent 2 cycles ont la couleur 2. Les points qui n'approchent pas un cycle durant l'itération ont la couleur maximale pouvant être assignée. Ceci marche bien avec un nombre relativement important d'itération. Les fractales de l'ensemble julia sont des fractales qui se basent sur la suite complexe = + C On assigne une valeur qui restera fixe à C : par exemple = 0.3 + 0.6 i Comme on utilise une suite récurrente on assigne ensuite à les coordonnées d'un point donné dans le plan. [...]

[...] Il appela alors ceci la géométrie fractale. Le terme fractal vient du latin "frangere" brisé et fractus irrégulier morcelé. C'est une figure géométrique irrégulière voire fragmentée quelle que soit l'échelle qui détient une borne supérieure et une borne inférieure. Elle possède des éléments spécifiques et ses parties ont la même structure que le tout. La géométrie fractale est donc l'étude d'objets qui à toutes les échelles possèdent les mêmes caractéristiques. Une fractale est un objet invariant à toute échelle qui permet de décrire des formes rencontrées dans la nature comme les nuages, les arbres, les côtes de Bretagne (Ces phénomènes qui n'ont rien en commun partagent alors la même structure mathématique). [...]