L'infini dans l'informatique

Thèmes abordés

Arithmétique, hardware, software, mathématiques, fonctions, trigonométrie circulaire, Bernoulli, algorithme CORDIC, logarithme népérien

Résumé du document

On parle d'arithmétique des ordinateurs quand on s'intéresse au domaine de l'informatique qui traite des opérations de base du calcul sur un calculateur numérique ; ceci concerne la représentation des nombres (entiers et des nombres en virgule fixe ou flottante), la façon d'effectuer les opérations arithmétiques de base (comparaison, addition, soustractions, multiplication et, mais pas toujours, division) en tenant compte des aspects aussi bien hardware (matériel) que software (logiciel), mais aussi le calcul approché de fonctions usuelles. La quantification de l'efficacité se mesure par le temps de calcul, la fiabilité et la précision des calculs.

Extraits

[...] Pour la cos, l'erreur maximale est de l'ordre de 10-3 : elle peut être diminuée fortement à moindres frais en augmentant les degrés p et q. Pour les approximants de Padé de expx sur l'erreur maximale (aux bornes) est respectivement de l'ordre de 10-3 ou 10-5 3). Calcul des décimales des irrationnels Les Physiciens n'ont pas besoin d'un nombre très grand de décimales pour réaliser des calculs suffisamment précis pour leurs besoins : les constantes universelles ne sont d'ailleurs connues qu'avec une précision limitée. [...]

[...] +1n + . est convergente et converge vers e. Au passage, ce résultat lui permet de démontrer que e est irrationnel, et que donc, une somme infinie de nombres rationnels peut être irrationnelle Il fera mieux en montrant que la série entière (développement en série de la fonction exp) n=0infinityxnn =limn-->infinity10 +x1 +x22 + . +xnn est convergente et converge vers ex et ce pour toute valeur réelle de x Il résout aussi le fameux problème de Bâle posé depuis plusieurs décennies, en montrant ce résultat n=1infinity1n2=limn-->infinity112+122+132+ . [...]

[...] Conclusion Les algorithmes de type CORDIC, s'ils sont à présent moins utilisés sur les gros calculateurs, font l'objet encore de recherche et d'méliorations constantes par de nombreux chercheurs ou ingénieurs qui travaillent afin de les implémenter sur les circuits hardware FPGA, de plus en plus répandus. cf. https://www.researchgate.net/publication/263928479_A_Novel_Method_for_Computing_Exponential_Function_Using_CORDIC_Algorithm ou https://www.researchgate.net/publication/230668504_A_fixed-point_implementation_of_the_expanded_hyperbolic_CORDIC_algorithm ) http://www.numdam.org/article/M2AN_1986__20_4_667_0.pdf Approximants de Padé https://fr.wikipedia.org/wiki/Approximant_de_Pad%C3%A9 Une fonction indéfiniment dérivable au voisinage de zéro admet un développement limité d'ordre n (DLn) si il existe un polynôme P de degré n au plus tel que l'écart entre et soit pour x proche de 0 un o(xn) (négligeable devant xn). Le polynôme P (de Taylor) constitue une approximation locale de f. [...]

[...] ex., arcsin est approché sur avec une erreur inférieure à 10-8 par un polynôme de degré 10000 Pour améliorer l'approximation avec moins de termes, Henri Padé (1863-1953) a eu l'idée, inspirée des fractions continues qui permettent d'approcher un nombre réel avec la précision souhaitée, de remplacer le polynôme de Taylor P par une fraction rationnelle F=PQ où P et Q sont des polynômes de degré respectif p et de sorte que l'écart entre et soit pour x proche de 0 un o(xp+q). On dit que F est un p q approximant de Padé de f. http://gery.huvent.pagesperso-orange.fr/index_explorer_net.htm . On privilégie généralement les approximant où p=q. Le calcul des approximants de Padé est fastidieux mais peut être réalisé une fois pour toutes par la méthode de Ruffini-Horner p. [...]

[...] ex., il sera possible de coder les nombres entiers de 0 à 2n-1=255. Une simple opération d'addition de deux nombres peut très vite conduire à un dépassement de capacité (ou overflow). Cette simple remarque montre qu'il n'est pas possible de coder parfaitement des nombres irrationnels, et même des nombres rationnels dont le développement décimal est infini (comme 13). Les nombres réels, quant à eux, sont en général codés avec le codage IEEE-754 qui correspond à un codage en écriture scientifique : pour n=64 qui correspond au codage double précision (communément utilisée par les logiciels tels que Matlab), la précision machine (variable eps sous Matlab) vaut environ 2,22.10-16. [...]