Filtrage numérique et programmation

Résumé du document

Dans les logiciels d'analyse de signaux l'utilisation de filtres s'avère être une méthode efficace pour extraire des données des informations significatives. Différentes techniques de filtrage sont alors utilisées et un jargon peu commun aux néophytes basé sur "Transformée de Fourier Rapide", "ondelettes", "filtres numériques" est employé. En quoi consiste le filtrage numérique ? Comment le programmer ? (...)

Extraits

[...] Introduction : Dans les logiciels d'analyse de signaux l'utilisation de filtres s'avère être une méthode efficace pour extraire des données des informations significatives. Différentes techniques de filtrage sont alors utilisées et un jargon peu commun aux néophytes basé sur Transformée de Fourier Rapide ondelettes filtres numériques est employé. En quoi consiste le filtrage numérique ? Comment le programmer ? 2. Une modélisation du filtrage analogique : Le filtrage numérique a pour vocation, comme son nom l'indique, de filtrer et ainsi de modéliser des filtres analogiques. [...]

[...] Cette distribution peut etre définie par DeltaT(t)=sum(n=-infini,n=+infini,Delta(t-n*T)) (représentation de cette distribution figure3). Sa transformée de Fourier est sum(n=-infini,n=+infini,Delta1/T(f)) Le produit de convolution : On appelle le produit de convolution de deux fonctions et la fonction définie par : = Int(-infini,+infini,g(t-Tau)*f(Tau),Tau). On obtient la relation suivante sur la transformée de Fourier TF[f*g] = TF[f] TF[g] Les suites géométriques : Soit une suite géométrique de raison k et de premier terme U0. On peut écrire que Un= U0 qn ou bien Un+1=q Un On definit Sn=U0 + U1 + U2 + . [...]

[...] Les séries de Fourier : Les séries de Fourier sont utilisées pour analyser des signaux périodiques. Soit f une fonction à valeurs réelles ou complexes associée à un signal périodique. On peut alors décomposer f en série de Fourier c'est à dire sous la forme : = a0 + a1*cos(x) + b1*sin(x) + a2*cos(2*x) + b2*sin(2*x) + a3*cos(3*x) + b3*sin(3*x) + avec a0=1/(2*Pi)*int(-Pi,Pi,f(x),x) an=1/Pi * int(-Pi,Pi,f(x)*cos(n*x),x) bn=1/Pi * int(-Pi,Pi,f(x)*sin(n*x),x) (La notation int(a,b,g(x),x) signifiant somme de a a b de g(x)dx ) Mais à moins de rendre un signal non périodique cette méthode n'est pas très intéressante. [...]

[...] Ainsi la partie réelle de est assimilable au coefficient a dans les séries de Fourier et la partie imaginaire de au coefficient b. En somme le calcul de ou de permet d'évaluer le poids relatif de la fréquence f ou de la pulsation w dans un signal. L'impulsion de Dirac : L'impulsion de Dirac n'est pas une fonction mais ce qu'on appelle une distribution. Elle se note Delta(t) et est définie par : Quelque soit t différent de 0 Delta(t)=0 et int(-infini,+infini,Delta(t),t)=1 (Voir une représentation de cette distribution figure 1). [...]

[...] On cherche ainsi la réponse à un peigne de Dirac DiracTe(t) puis on utilise le produit de convolution. Soient l'ensemble des données échantillonnées, l'ensemble des données constituant la réponse au peigne de Dirac DiracTe(t) (ces données constituent la caractéristique du filtre) et l'ensemble des données constituant la réponse à ,xn-1). On peut créer une fonction associée aux données une fonction associée aux données associée au peigne de Dirac et associée à l'ensemble de données ,dn-1). = sum(a=0,a=n,Delta(t-aTe)), = sum(a=0,a=n,da Delta(t-aTe)) = sum(a=0,a=n,xa Delta(t-aTe)), = sum(a=0,a=n,ya Delta(t-aTe)) On pose = TF[sum(a=0,a=n,da Delta(t-aTe))] = sum(a=0,a=n,TF[da Delta(t-aTe)]) = sum(a=0,a=n,da TF[Delta(t-aTe)]) = sum(a=0,a=n, da exp(-jnTew)) On a de même = sum(a=0,a=n, xa exp(-jaTew)), = sum(a=0,a=n, ya exp(-jaTew)) et = sum(a=0,a=n, exp(-jaTew)) est la somme des éléments d'une suite géométrique de raison exp(- jTew). [...]