Les arbres

Résumé du document

Il ne s'agit pas, ici, d'un traité de botanique mais d'une présentation très complète du modèle mathématique de l'arbre, ensemble de nœuds organisés de façon hiérarchique. Dans cette présentation, on examine à partir de nombreux exemples et schémas la représentation des arbres – et en particulier des arbres binaires – ainsi que la notion de forêt.

Extraits

[...] Dans un tel arbre, on dit que chaque niveau est complètement rempli. Un arbre binaire parfait est un arbre binaire dont tous les niveaux sont complètement rempli sauf éventuellement le dernier niveau, et dans ce cas les feuilles du dernier niveau sont regroupées le plus à gauche possible. a est parfait, b et c ne le sont pas. Un arbre binaire localement complet est un arbre binaire non vide qui n'a pas de point simple. Tous les nœuds qui ne sont pas des feuilles ont 2 fils. [...]

[...] Avril devient le sous arbre gauche de Mai. Le sous arbre gauche de Mai devient le sous arbre droit d'Avril. Mars et son sous arbre droit devient le sous arbre droit de Mai. Remarque :Si Mai avait un sous arbre droit non vide, celui ci deviendrait le sous arbre gauche de Mars. Insertion de Décembre : Insertion de Juillet : Insertion de Février : L'arbre est déséquilibré. Insertion de Juin : Insertion d'Octobre : Insertion de Septembre : Dans cette construction de l'arbre précèdent, nous avons effectué un rééquilibrage dans 4 cas différents. [...]

[...] Recherche d'un élément x dans un arbre binaire de recherche A. Principe : - si l'arbre A est vide, x n'est pas présent dans l'arbre A - si l'arbre A n'est pas vide, et si x apparaît à la racine, alors x est présent dans A - sinon - si clé de la racine), alors on recherche x dans le sous arbre droit de la racine 8.2 )Insertion dans un arbre binaire de recherche. [...]

[...] De même découle de et La preuve se fait par récurrence. Base de la récurrence :pour i = clairement le fils gauche est en 1 = 2i + 1 avec i = à moins que l'arbre soit réduit à un seul nœud. Hypothèse de récurrence :supposons que pour tout nœud j ( j [...]

[...] Définition :Un arbre binaire est un ensemble fini de nœuds qui est soit vide, soit constitué d'une racine et de 2 arbres binaires disjoints, appelés le sous arbre gauche et le sous arbre droit. On appelle fils gauche (respectivement fils droit) d'un nœud, la racine du sous arbre gauche (respectivement du sous arbre droit) de ce nœud. On appelle branche d'un arbre binaire tout chemin (suite de nœuds consécutifs) de la racine à une feuille. Un arbre a donc autant de branches que de feuilles. Définition :Un nœud qui a 2 fils est appelé nœud interne ou point double. [...]