L'analyseur de spectre

Résumé du document

Que signifient des termes comme analyseur de spectre, spectre ? Qui ne s'est jamais demandé comment fonctionnaient l'analyseur de spectre et les plug-ins de son lecteur mp3 ? Toutes ces questions peuvent rester sans réponse si on ne possède pas les connaissances mathématiques nécessaires (...)

Extraits

[...] Pour se faire on utilise l'iDFT : la transformée inverse de Fourier discrète. L'iDFT est également basée sur un calcul matriciel. La seule différence avec la DFT réside dans la matrice Fn. Cette fois-ci les éléments Wn de la matrice Fn sont égaux à e(2*Pi*j/n) et on notera la matrice iFn. On aura : Wn Wn2 Wnn- Wn2 Wn4 Wn2(n-1) * 1/n 1. Wnn-1 Wn2(n-1) Wn2(n-1) Pour illustrer ceci nous allons effectuer un petit calcul qui constituera une sorte de vérification. [...]

[...] Introduction : Que signifient des termes comme analyseur de spectre, spectre ? Qui ne s'est jamais demandé comment fonctionnaient l'analyseur de spectre et les plug-ins de son lecteur mp3 ? Toutes ces questions peuvent rester sans réponse si on ne possède pas les connaissances mathématiques nécessaires, connaissances que nous allons tenter de vulgariser Les séries de Fourier et la transformation de Fourier : Les séries de Fourier : Les séries de Fourier sont utilisées pour analyser des signaux périodiques. Soit g une fonction à valeurs réelles ou complexes associée à un signal périodique. [...]

[...] Les analyseurs de spectre effectuent une analyse de signal en termes de fréquence plutôt qu'en termes de temps. Il existe deux principaux types d'analyseur de spectre : les analyseurs de spectre proprement dit c'est à dire constitués à partir de circuits électroniques et les analyseurs de spectre logiciel. Les analyseurs de spectre ‘électronique' sont basés sur une série de filtres RLC d'ordre comme dans des égaliseurs, dont la bande passante et la fréquence de coupure permettent de balayer une large bande de fréquence. [...]

[...] La transformation de Fourier : La transformation de Fourier est définie comme un calcul d'intégrale. Pour une fonction g à valeurs réelles ou complexes on a : = int(-infini,+infini,g(t)*e(-j*w*t),t) Ou bien en sachant que w=2*Pi*f = int(-infini,+infini,g(t)*e(-j*2*Pi*f*t),t) Ce qui donne en développant infini,+infini,g(t)*(cos(w*t)+j*sin(w*t),t) Soit G(w)=int(-infini,+infini,g(t)*cos(w*t),t) + j*int(- infini,+infini,g(t)*sin(w*t),t) Ce qui nous fait étrangement penser aux séries de Fourier. Ainsi la partie réelle de est assimilable au coefficient a dans les séries de Fourier et la partie imaginaire de au coefficient b. [...]

[...] Soit n le nombre de données échantillonnées. Soit y élément de Cn On pose y=(y0,y1, y0,y1, ,yn-1 étant des données échantillonnées espacées par un intervalle de temps égal : Tau (la période du signal étudié est donc T=n*Tau) Soit f la fonction associée à cet ensemble de données échantillonnées. On a donc y=(y0,y1, élément de Cn En appliquant la DFT on a : DFT(y)=c=(c0,c1, cn-1) élément de Cn Avec ck=1/N*(y0*Wnk*0 + y1*Wnk*1 + + yn-1*Wnk*(n-1) ) Et Wn=exp(-2*Pi*j/n) Définissons la matrice de Fourier Fn élément de Mn(C) Wn Wn2 Wnn- Wn2 Wn4 Wn2(n-1) 1 Wnn-1 Wn2(n-1) Wn2(n-1) On a alors (c0,c1, = Fn*(y0,y1, c0,c1, ,cn-1 sont les poids des fréquences dans l'échantillon traité et sont calculés et répartis de manière linéaires de 0Hz à Fs Hz (Fs étant la fréquence d'échantillonnage). [...]