Codages et automatismes (Algèbre / Congruence / Matrice)

Résumé du document

Exemple
Le reste de la division de 47 par 5 est 2
On dit que le résidu de 47 modulo 5 est 2 (...)

Extraits

[...] - opp(1) = 4 - opp(2) = - opp(3) = 2 - opp(4) = On définit la soustraction : a - b = a + opposé de b . 4 = 2+1 ℤ ℤ est un groupe commutatif . [...]

[...] ℤ Vérifier dans 7 ℤ Résoudre le système : 4x + 2y = 1 3x + 5y = 6 dans ℤ 7 x ℤ x Page 10 ℤ 7 ℤ y CODAGES & AUTOMATISMES J'ajoute membre à membre : 0x + 6y = 0 y = 0 en remplaçant : 4x + 2 x 0=1 = 4x = x x 4 (son opposé) = x x 2 = x 2x + 3y 3x + y 6x + 4y 1x + 5y On ajoute 0x + 0y = 2 Exemple 2 : ℤ 2 ℤ = { } qui se note Β Est un Corps ( 2 étant un nombre premier ) Β x = Page CODAGES & AUTOMATISMES 4 Espace Vectoriel Rappel : - En dimension 2 : B AB = u A u j Base orthonormale i Avec - v = ( ) on aura : u + v = En dimension 3 : On additionne deux vecteurs u u v + v On peut multiplier un nombre par un vecteur 4u = ( 4 ; 12 ; 16 ) 4u 3v = ( 6 ; 15 ; 3 ) + 3v = ( 10 ; 27 : 19 ) Page 12 CODAGES & AUTOMATISMES Définition Définition d'un espace vectoriel sur un corps K un ensemble muni d'une loi (notée additivement ) ( E , + ) est un groupe commutatif et il existe une opération de K par E dans E (notée souvent par un . [...]

[...] u + = α.( β. u =α . [...]

[...] Exemple : Avec la congruence modulo il y a 5 classes d'équivalence : ϸl(0) = { } ϸl(1) = { } ϸl(2) = { } ϸl(3) = { } ϸl(4) = { } ϸl(4) = ϸl(0) ϸl(6) = ϸl(1) ϸl(7) = ϸl(2) ou = L'ensemble des classes d'équivalence modulo-n sur l'ensemble ℤ des Entiers (positifs et négatifs ) se note : ℤ n ℤ P a ge 1 CODAGES & AUTOMATISMES ℤ Exemple : 5 = { ϸl(0) ; ϸl(1) ; ϸl(2) ; ϸl(3) : ϸl(4) } ℤ ou = ou = { } s'il n'y a pas de confusion possible Définition On définit sur une addition et une multiplication : Il y a compatibilité ℤ de ces opérateurs avec la relation modulo-n. [...]

[...] ou absence de symbole) K , u v E 4 Propriétés : α.( u (α β) . + 1.u + v . [...]