L'algèbre de Boole

Résumé du document

Cours sur l'algèbre de Boole. Mathématicien anglais du XIXème siècle, il a créé une algèbre représentant de manière synthétique les raisonnements de la logique binaire, logique dans laquelle on admet que les propositions formulées ne peuvent être que vraies ou fausses.

Extraits

[...] Indiquer sa forme canonique. Donner l'expression booléenne simplifiée de la fonction Correspondant à la proposition "l'intéressé peut souscrire à l'avenant". Pour pouvoir souscrire à l'avenant, il faut remplir les conditions suivantes: avoir souscrit la police être de sexe masculin, marié et âgé de plus de 25 ans. Ne pas avoir souscrit la police être de sexe féminin et mariée Etre célibataire, de sexe masculin et âgé de plus de 25 ans Avoir souscrit la police être de sexe féminin et mariée N'avoir pas souscrit la police être âgé de plus de 25 ans et de sexe masculin Ne pas avoir plus de 25 ans, être marié et de sexe masculin. [...]

[...] Exemple : A = x.y + ( y ( B = x.y.z + x.y + y.z Une table de vérité identifie d'une manière unique une fonction booléenne. Pour montrer l'égalité de deux ou plusieurs fonctions booléennes, il suffira de montrer l'identité de leur table de vérité (c'est à dire qu'à chaque valeur des variables est associée la même valeur des fonctions. Quelques fonctions de base La fonction égalité A = x Table de vérité La fonction complément A = x Table de vérité NB : x = x La fonction ET A = x . [...]

[...] nous irons pique-niquer. Pour que la dernière proposition se réalise (soit vraie), il faut que les deux premières propositions soient réalisées (soient vraies) Variables et fonctions booléennes On appelle variable booléenne toute quantité susceptible de prendre seulement deux valeurs : : proposition fausse : proposition vraie Si 3 variables booléennes y varient de telle façon qu'à une valeur de x et de y correspond une valeur de A et une seule, on dit que A est fonction de x et de y. [...]

[...] Xxxxxx xxxxxxxx Algèbre de Boole Introduction BOOLE, mathématicien anglais du 19ème siècle, a créé une algèbre représentant de manière synthétique les raisonnements de la logique binaire. (logique dans laquelle on admet que les propositions formulées ne peuvent être que vraies ou fausses) Exemple: s'il fait beau et pas trop chaud nous irons pique-niquer. Deux propositions initiales: . il fait beau . il ne fait pas trop chaud une proposition conséquente: . [...]

[...] Exemple: = x.y + x.y + x = x.(y + x = x + x = 1 Pour obtenir la forme la plus simplifiée possible d'une fonction, on utilise les propriétés et les théorèmes déjà vus. EXERCICES Quelle est la fonction ayant la table de vérité suivante ? Simplifier les fonctions suivantes: = x.y.z + x.y.z + x.y.z + x.y.z F(x ) = x.y + x.y + x.y + x.y = x + z + y.(x+z) + Composer la table de vérité d'une fonction : Comportant les variables x,y,z dont la valeur n'est 1 que s'il y a un nombre impair de variables égales à 1. [...]