Les systèmes asservis - publié le 13/07/2024

Thèmes abordés

circuit électronique, automatique, Matlab, systèmes asservis, fonction de transfert, performances d'un asservissement

Résumé du document

Le document est un devoir corrigé de niveau licence composé de 5 exercices sur le thème de l'asservissement en automatique.

Extraits

[...] Les systèmes asservis Exercice 1 Le signal de correspond à une rampe : y1t=3.t-10 Le signal de correspond à une rampe : y2t=-2.t+15 Le signal de [15 correspond à un signal sinusoïdal : y3t=sin?(t) Le signal de [20 correspond à un signal sinusoïdal : y4t=sint+30 Le signal de [30 correspond à un échelon : y5t=30 Le signal de [35 correspond à une rampe : y6t=-4.t+170 Le signal de [40 correspond à un échelon : y7t=10 Donc : yt=y1t+y2t-5-y1t-5+y3t-15-y2t-15+y4t-20-y3t-20+y5t-30-y4t-30+y6t-35-y5t-35+(y7t-40-y6t-40) yt=3.t-10+-2.(t-5)+15-3.(t-5)-10+sin?(t-15)-(-2.t-15)+15+sint-20+30-sin?(t-20)+30-sint-30+30+-4.(t-35)+170-30+(10-(-4.(t-40)+170)) yt=3.t-10-2.t+10+15-3t+15-10+sint-15+2.t-30-15+sint-20+30-sint-20+30-sint-30+30-4.t+140+170-30+10+4.t-160-170 yt=3.t-10-2.t+10+15-3t+15-10+sint-15+2.t-30-15+sint-20+30-sint-20+30-sint-30+30-4.t+140+170-30+10+4.t-160-170 yt=sint-15-sint-30+25 Exercice 2 2.a) Quelques rappels sur les transformées de Laplace : Ldydt=p.Yp-y(0) Ld2ydt2=p2.Yp-p.y0-y'0 Les conditions initiales sont les suivantes : y0=y'0=x0=0 La transformée de Laplace de l'équation différentielle est la suivante : Ld2ydt2+4dydt+4.yt=2.dxdt-10.x(t) p2.Yp-p.y0-y'0+4p.Yp-y0+4.Yp=2p.Xp-x0-10.X(p) p2.Yp-0-0+4p.Yp-0+4.Yp=2p.Xp-0-10.X(p) p2.Yp+4.p.Yp+4.Yp=2.p.X(p)-10.X(p) 2.b) p2.Yp+4.p.Yp+4.Yp=2.p.X(p)-10.X(p) Yp.p2+4.p+4=Xp.(2.p-10) Y(p)X(p)=2.p-10p2+4.p+4 2.c) 2.p-10=2.(p-5) Zéro de la fonction de transfert : z1=5 ?=42-4x1x4=0, p1=-42x1=-2 p2+4.p+4=p+2.(p+2) Pôles de la fonction de transfert : p1=-2 2.d) Pour un système du second ordre le coefficient d'amortissement peut être calculé à partir du dénominateur de la fonction de transfert : p2+2.m.ω0.p+ω02=p2+4.p+4 D'où : ω02=4 et donc ω0=2 Donc : 2.m.ω0=4 2.m.2=4 m=1 Il s'agit donc d'un système hyper-amorti, c'est-à-dire non-oscillant, stable et en régime critique. 2.e) 2.p-10p2+4.p+4=2p2+4.p+4.(p-5) D'où : k.ω0=2 k.2=2 k=1 Pour une entrée de type échelon unitaire, la valeur finale est égale à K donc à 1. [...]

[...] 4.f) Pour faire apparaître les paramètres canoniques du système il faut le mettre sous la forme : Hp=G.11+τp G.11+τp=115.p+215=115x215.152p+1=12.11+152p Les paramètres canoniques du système sont : G=12 et τp=152 4.g) Le temps de réponse à du système est égale à environ 3 fois la constante de temps soit 3.τp=3.152=22,5s 4.h) Pour une entrée de type échelon unitaire, l'erreur statique du système est : εp=11+K=11+12≈0,667 Exercice 5 5.a) uR=R.iR, uL=L.diLdt, ic=C.ducdt, st=uC(t) et iC=iR=iL st=et-uR-uL st=et-R.iRt-L.diLdt st=et-RC.ducdt-LC.d2ucdt2 st=et-RC.dsdt-LC.d2sdt2 st+RC.dsdt+LC.d2sdt2=et 5.b) Quelques rappels sur les transformées de Laplace : Ldydt=p.Yp-y(0) Ld2ydt2=p2.Yp-p.y0-y'0 Les conditions initiales sont les suivantes : La transformée de Laplace de l'équation différentielle est la suivante : Lst+RC.dsdt+LC.d2sdt2=et Sp+RC.(p.Sp-s0)+LC.(p2.Sp-p.s0-s'0)=Ep Sp+RC.(p.Sp-0)+LC.(p2.Sp-p.0-0)=Ep Sp+RC.p.Sp+LC.p2.Sp=Ep 5.c) S(p)E(p)=110.p2+α.p+1 On sait que α=2mω0 Pour que le système soit oscillant il faut que le coefficient d'amortissement soit égal à il faut donc que α soit nul. 5.d) Pour que le système soit stable en plus d'être oscillant il faut que le coefficient d'amortissement soit compris entre 0 et 1 il faut donc que α soit compris entre 0 et 2ω0. [...]

[...] Exercice 3 3.a) Vdp=εxp.(Kp+Kip) 3.b) Vp=Vdp-Vp.Kv.b0a0+a1.p Vp.(1+Kv.b0a0+a1.p)=Vdp.Kv.b0a0+a1.p Vp=Vdp.Kv.b0a0+a1.p.11+Kv.b0a0+a1.p Vp=Vdp.Kv.b0a0+a1.p.1a0+a1.p+Kv.b0a0+a1.p Vp=Vdp.Kv.b0a0+a1.p+Kv.b0 3.c) FTBO=VpXdp.1p FTBO=VdpXdp.1p.Kv.b0a0+a1.p+Kv.b0 FTBO=εxpXdp.1p.Kp+Kip.Kv.b0a0+a1.p+Kv.b0 FTBO donc : Xdp=εxp FTBO=XdpXdp.1p.Kp+Kip.Kv.b0a0+a1.p+Kv.b0 FTBO=1p.Kp.p+Kip.Kv.b0a0+a1.p+Kv.b0 FTBO=Kv.b0.Ki+Kv.b0.Kp.p(a0+Kv.b0).p2+a1.p3 3.d) FTBF= FTBO1+FTBO FTBF=Kv.b0.Ki+Kv.b0.Kp.p(a0+Kv.b0).p2+a1.p3.11+Kv.b0.Ki+Kv.b0.Kp.p(a0+Kv.b0).p2+a1.p3 FTBF=Kv.b0.Ki+Kv.b0.Kp.p(a0+Kv.b0).p2+a1.p3.1(a0+Kv.b0).p2+a1.p3+Kv.b0.Ki+Kv.b0.Kp.p(a0+Kv.b0).p2+a1.p3 FTBF=Kv.b0.Ki+Kv.b0.Kp.p(a0+Kv.b0).p2+a1.p3+Kv.b0.Ki+Kv.b0.Kp.p FTBF=Kv.b0.Ki+Kv.b0.Kp.pKv.b0.Ki+Kv.b0.Kp.p+(a0+Kv.b0).p2+a1.p3 Exercice 4 4.a) Hp=10p+1150p2+35p+2 4.b) 10p+1=10.(p+110) Zéro de la fonction de transfert : z1=-110 ?=352-4x150x2=25, p1=-35-252x150=-35-5300=-40300=-215, p2=-35+252x150=-35+5300=-30300=-110 150p2+35p+2=150.p+215.(p+110) Pôles de la fonction de transfert : p1=-215 et p2=-110 4.c) Oui on peut simplifier l'expression : 10p+1150p2+35p+2=10.(p+110)150.p+215.(p+110)=115.p+215 4.d) L'un des pôles et le zéro de H sont confondus. 4.e) Il s'agit d'un système du premier ordre. [...]