Résolution de différents circuits

Thèmes abordés

Circuit de résistances, selfs, condensateurs en série, condensateurs en parallèle, circuit triphasé en tirangle, circuit triphasé en étoile, résolution de circuit

Résumé du document

Ce document contient des exercices de résolution d'un circuit composé de résistances, de selfs et de condensateurs en série/parallèle ainsi qu'un circuit triphasé en triangle et un autre en étoile.

Extraits

[...] D'où iR2t=0.958cosωt-4.613. On a ensuite IZeq2=IL1=IZeq1⇒UZeq2Zeq2=IL1⇒IL1=UR2Zeq2=R2IR2Zeq2=20103+10j-2j=100j3+10j=100j3-10j32+102=1000109+300109j. Donc IL1=1090000109ejarctan310≅9.578e0.291j d'où iL1t=9.578cosωt+0.291. UZeq1=UL2=UC1 donc Zeq1IZeq1=ZL2IL2=ZC1IC1⇒IL2=Zeq1ZL2IL1 et IC1=Zeq1ZC1IL1. Pour L2 on a IL2=-12j6jIL1=-2IL1=21090000109ejarctan310+PI≅19.16e3.433j donc iL2t=19.16cosωt+3.433. Enfin pour C1 on a IC1=-12j-4jIL1=3IL1=31090000109ejarctan310≅28.73e0.291j d'où iC1t=28.73cosωt+0.291. Pour récapituler on a donc : Elément Courant (complexe) Courant réel R1 1030109+200109j 9.626cosωt+0.192 R2 30109-100109j 0.958cosωt-4.613 L1 1000109+300109j 9.578cosωt+0.291 L2 -2000109-600109j 19.16cosωt+3.433 C1 3000109+900109j 28.73cosωt+0.291 Question c Les tensions aux bornes de chaque élément sont égales au produit des impédances par les courants (en notation complexe) : UR1=R1IR1=101030109+200109j=10300109+2000109j, d'où uR1t=96.26cosωt+0.192. [...]

[...] La loi d'Ohm dans chaque résistance donne : J12=U12R12;J23=U23R23;J31=U31R31. D'où : I1=U12R12-U31R31;I2=U23R23-U12R12;I3=U31R31-U23R23. Si on choisit la tension U12 comme référence de phase, alors U12=U;U23=a2U;U31=aU où a=ej2PI3 la racine cubique de l'unité, car le système est triphasé et U=400V, la tension entre phases. Ce qui amène aux expressions : I1=U1R12-aR31;I2=Ua2R23-1R12;I3=UaR31-a2R23 La puissance complexe dans chaque résistance est donnée par l'expression : PXY=UXYJXY*=UXY2RXY. Applications numériques : Cas 1 : R12=R23=R31=200Ω : I1=4001200-a200=21-a=21-ej2PI3=-2ej2PI6ej2PI6-e-j2PI6=-2ej2PI62jsin2PI6=4ej2PI6e-jPI232=23e-jPI6 ; I2=400a2200-1200=2a2-1=2a1-a=2e-j2PI33e-jPI6=23e-j5PI6 ; I3=400a200-a2200=2a-a2=2a1-a=2ej2PI33e-jPI6=23ejPI2 . P12=P23=P31=4002200=800. En réel on a donc les tensions et courants suivants : u12t=400cosωt;u23t=400cosωt-2PI3;u31t=400cosωt+2PI3 ; i1t=23cosωt-PI6;i2t=23cosωt-5PI6;i3t=23cosωt+PI2 ; Cas 2 : R12=400Ω ; R23=R31=200Ω : I1=4001400-a200=1-2a=1-2ej2PI3=1-2cos2PI3+jsin2PI3=1-2-12+j32=2-j3=22+32ejarctan-32=7e-jarctan32 ; I2=400a2200-1400=2a2-1=2e-j2PI3-1=2cos-2PI3+jsin-2PI3-1=2-12-j32-1=-2-j3=22+32ej(arctan-3-2+PI)=7ejPI+arctan32 ; I3=400a200-a2200=2a-a2=2a1-a=2ej2PI33e-jPI6=23ejPI2 . [...]

[...] Question b Question c On a les relations suivantes entre les tensions : U12=V1-V2;U23=V2-V3;U31=V3-V1. Et d'après la loi d'Ohm on a : I1=V1R1;I2=V2R2;I3=V3R3, et d'après la loi des nœuds : IN=I1+I2+I3. Si on prend V1 comme référence de phase, alors les tensions s'écrivent V1=V;V2=a2V;V3=aV où a=ej2PI3 la racine cubique de l'unité, car le système est triphasé. On a alors : U12=V1-a2;U23=V(a2-a);U31=V(a-1). U12=V1-ej4PI3=V1-cos4PI3-jsin4PI3=V1+12+j32=V332+j12=V3ejPI6=UejPI6 avec U=V3=2303≅398V. U23=Va2-a=Va1-a2=e-j2PI3UejPI6=Ue-jPI2 ; U31=Va-1=Va1-a2=ej2PI3UejPI6=Uej5PI6. La puissance complexe dans chaque résistance est donnée par l'expression : PX=VXIX*=VX2RX. Applications numériques : Cas 1 : R1=R2=R3=460Ω : I1=230460=12 ; I2=230ej4PI3460=12ej4PI3 ; I3=230ej2PI3460=12ej2PI3 ; IN=121+ej4PI3+ej2PI3=0. [...]

[...] Question g Le facteur de puissance du circuit cos? est égal à PtotStot donc cos?=PtotStot=945.0962.7≅0.982. Question h Pour améliorer le cos? il faut chercher à annuler la puissance réactive du circuit. Dans la pratique on ajoute dans le circuit des condensateurs de façon à compenser la puissance réactive des éléments inductifs. Dans notre exercice on ajoute donc un condensateur de capacité C2, d'impédance ZC2=1jC2ω, donc la puissance réactive QC2 vient compenser la puissance réactive totale du circuit avant compensation. Donc QC2=Qtotavant=-183.6 VAR. [...]

[...] A l'étape 3 (R2 et Zeq2 en parallèle) : 1Zeq3=1ZR2+1Zeq2=120+1-2j=j-1020j=1+10j20⇒Zeq3=201+10j. A l'étape 4 (R1 et Zeq3 en série) : Zeq=ZR1+Zeq3=10+201+10j=10+100j+201+10j=30+100j1+10j. L'impédance équivalente est donc : Zeq=30+100j1+10j. Question b On note vt=100cosωt la tension du générateur et V sa notation complexe. On note iXt le courant traversant l'élément X. On note it le courant total dans le circuit : I=VZeq=10030+100j1+10j=1001+10j30+100j=1001+10j30-100j302+1002=10030+1000+300j-100j10900=1030109+200109j. On passe en notation exponentielle : I=Imej? avec Im=RI2+II2 et ?=arctanIIRI. D'où I=1100900109ejarctan20103 ≅9.626e0.192j. Finalement on obtient it=9.626cosωt+0.192 . On a iR1t=it=iZeq3(t). UZeq3=UR2=UZeq2 donc Zeq3IZeq3=R2IR2⇒IR2=Zeq3R2I=201+10j201001+10j30+100j=10030+100j=103+10j Donc IR2=10(3-10j)32+102=30109-100109j=10900109ejarctan-103≅0.958e-4.613j. [...]