Résistance des matériaux mécaniques (RDM)

Thèmes abordés

RDM, résitance, matériaux mécaniques, exercices, poutre, structure isostatique, déformations, charges ponctuelles, charge répartie

Résumé du document

Ce document comprend deux exercices complets : l'un qui détermine les sollicitations dans une poutre encastrée-libre soumise à une charge répartie, et l'autre qui détermine les efforts internes et les déformations dans une structure isostatique soumise à des charges ponctuelles.

Extraits

[...] Les points clés sont: La modélisation de la structure et le calcul des actions aux appuis par équilibre L'obtention des expressions de et Mf(x) par intégration de la charge Le tracé des diagrammes des sollicitations le long de la poutre Le calcul des valeurs maximales : contrainte de flexion maximale et flèche au point B Nous retrouvons bien le comportement attendu d'une poutre encastrée-libre avec des sollicitations nulles en A et maximales en B. Exercice 2 Vérification isostaticité Pour vérifier que la structure est isostatique, on utilise le théorème de Maxwell : Nombre de degrés d'hyperstatisme = 3j - 2r Avec : j = nombre de nœuds = 3 r = nombre de réactions = 6 Donc : 3j - 2r = 33 - 26 = 0 La structure est isostatique et statiquement déterminée. Le nombre d'équations d'équilibre disponibles par nœud) est égal au nombre d'inconnues (réactions). [...]

[...] POUR TRACER LES DIAGRAMMES Effort normal : Comme est constant, vous pouvez simplement indiquer la valeur de 288 kN sous la poutre sur toute sa longueur. Effort tranchant : Vous pouvez tracer la droite croissante = 24x en prenant quelques points caractéristiques : = 0 kN = 144 kN = 288 kN Reliez ces points par une droite sous la poutre. Moment fléchissant Mf(x) : Vous pouvez tracer la parabole Mf(x) = 12x2 de la même manière, en prenant quelques points : = 0 kN.m = 576 kN.m = 3456 kN.m Puis reliez ces points par une parabole sous la poutre. [...]

[...] Calcul de la flèche maximale La flèche maximale se produit au milieu de la travée BC, en son milieu = L/2). La flèche s'exprime par : = ∫ / EI) dx Avec : = 20L sur BC E = 200 GPa I = 1/120 m4 Donc au milieu de BC : = ∫ (20L / (200EI)) dx entre 0 et L/2 = (20L / (200EI)) * / 2 = (10L3) / (480 EI) Pour L = 4 m : = (1064) / (480200*120) = 0,0011 m = 1,1 mm La flèche maximale au milieu de la travée vaut environ 1,1 mm. [...]

[...] Résistance des matériaux mécaniques (RDM) Exercice 1 Modélisation de la poutre On considère une poutre de longueur L = 12 encastrée en A et libre en B. Les caractéristiques de la poutre sont : Module d'élasticité E = MPa Moment quadratique I = I(HEB 200) (valeur à récupérer dans les tableaux de caractéristiques des profilés HEB) Charge répartie q = 24 kN/m Les actions de liaison en A sont : Réaction d'encastrement : RA = ∫q(x)dx = qL = 24 x 12 = 288 kN Moment fléchissant en A : MA = 0 (encastrement parfait) Donc les actions de liaisons en A sont : RA = 288 kN MA = 0 Expressions des sollicitations Effort normal : L'effort normal est constant sur toute la longueur de la poutre puisqu'il n'y a pas de charge ponctuelle. [...]

[...] Conclusion Dans cet exercice, nous avons déterminé les efforts internes et les déformations dans une structure isostatique soumise à des charges ponctuelles. Les points clés sont : La vérification de l'isostaticité par le théorème de Maxwell L'obtention des efforts internes V et M par équilibre des éléments La construction des diagrammes des efforts internes Le calcul des valeurs maximales : contrainte de flexion et flèche maximale Nous retrouvons bien le comportement attendu d'une structure isostatique, avec des efforts nuls ou faibles proches des appuis et maximaux au centre. [...]