Modélisation en dynamique stochastique des structures

Résumé du document

Nous nous intéressons à la dynamique de structures soumises à des sollicitations ambiantes de nature aléatoire (pont à haubans sous l'effet du vent et du trafic, plateforme offshore sous l'effet de la houle, grand immeuble sous l'effet d'un séisme).

Nous nous limitons au cas de structures restant dans leur domaine de réponse élastique linéaire. Comme les systèmes linéaires conservent le caractère gaussien des sollicitations, nous travaillerons avec des modèles gaussiens. Ceci conviendra bien pour de nombreuses situations réelles.

Dans ce qui suit, l'excitation sera traitée comme un bruit blanc gaussien, ce qui est un modèle pour une excitation stationnaire large bande. Il existe pour le cas d'excitations gaussiennes colorées des techniques, comme la technique de markovianisation, permettant de se ramener à la situation bruit blanc.

Ce cours clair sur les méthodes probabilistes et les modèles stochastiques s'avèrera fort utile pour de nombreux(ses) étudiant(e)s en mathématiques, physique et bien entendu tout(e) autre intéressé(e).

Voici le plan :

Introduction.
I) Le cas linéaire
II) Les oscillateurs scalaires
III) Remarques
IV) Cas non linéaire : bruit, bruit blanc et calcul stochastique

Extraits

[...] En particulier, l'equation de Fokker-Planck associee sera parabolique degeneree La reponse stationnaire Y est un processus gaussien stationnaire centre entierement caracterise par la donnee de sa fonction d'autocorrelation t RY Y = E + u)Y de nie sur IR a valeurs dans IR, et qui s'ecrit, 8t 2 IR : ( ) = Y2 RY Y t w00 wd sin wdjtj + cos wdt e w00jtj avec : 2 Y L2 = 4w 3 ; wd q = w 2 ou Y2 = E = RY Y est la variance de la reponse stationnaire Y . Cas non lineaire : bruit, bruit blanc et calcul stochastique Nous nous placons directement dans l'espace des phases. Nous considerons un systeme dynamique non lineaire mis en mouvement par des sollicitations exterieures aleatoires persistentes. [...]

[...] Modelisation en dynamique stochastique des structures Nous nous interessons a la dynamique de structures soumises a des sollicitations ambiantes de nature aleatoire (pont a haubans sous l'e et du vent et du tra plateforme o shore sous l'e et de la houle, grand immeuble sous l'e et d'un seisme). Nous nous limitons au cas de structures restant dans leur domaine de reponse elastique lineaire. Comme les systemes lineaires conservent le caractere gaussien des sollicitations, nous travaillerons avec des modeles gaussiens. Ceci conviendra bien pour de nombreuses situations reelles. Dans ce qui suit, l'excitation sera traitee comme un bruit blanc gaussien, ce qui est un modele pour une excitation stationnaire large bande. [...]

[...] On suppose f de la forme : f = LN avec L un reel non nul et N = t 2 IR) un bruit blanc gaussien normalise scalaire L'equation prendra un sens mathematique convenable dans l'espace des phases, sous la forme de l'EDS vectorielle de It^o suivante, de dimension deux, satisfaite par l'etat du syteme (couple position-vitesse : X = : dX = AX (t)dt + dW ou W est un mouvement brownien standard scalaire, et # " # L ; = w0 20w0 On aura ensuite Y = X ou est la projection sur la premiere composante. A = " 7 Remarques { Le processus X qui vit dans l'espace des phases est un processus de Markov, mais Y n'en est pas un. Toutefois, il est le projete d'un processus de Markov, et, en travaillant dans l'espace des phases, c'est a dire avec le processus X , nous pourrons utiliser les techniques markoviennes. { Le mouvement brownien directeur est de dimension 1. [...]

[...] Nous supposons ici qu'il n'y a pas d'interaction entre l'excitation et la structure (l'intensite de l'excitation ne depend pas de l'etat). Apres modelisation de la structure par elements nis, elle devient un systeme di erentiel du second ordre sur IRm de la forme : + DZ_ + KZ = P MZ avec : M , D et K les matrices de masse, d'amortissement et de rigidite, Z le vecteur des deplacements nodaux, et P celui des e orts nodaux, de la forme : P = LN , avec N = t 2 IR) un bruit blanc gaussien normalise (l'excitation est donc modelisee par un bruit blanc gaussien) Dans le cas d'une excitation bruit blanc, ce systeme di erentiel du second ordre equivaut au systeme du premier ordre de It^o : ( dX = AcX (t)dt + BcdW Z = HcX ou X (l'etat du systeme) est un processus de dimension n = 2m tel que : X = T ; T , W est un processus de Wiener standard p-dimensionnel et Ac 2 IRnn, Bc 2 IRnp, Hc 2 IRmn Nous nous limitons ici a l'etude du comportement dynamique en regime permanent. [...]

[...] Posant Cc = Hc 2 IRln, on obtient : ( ( ) = AcX (t)dt + BcdW ( ) = CcX dX t Y t Le processus Y etant gaussien, sa loi de probabilite est entierement caracterisee par : * Sa fonction moyenne : t 7 = E * Sa fonction d'autocorrelation RY Y ( ) = E T + 5 Oscillateurs scalaires Le cas scalaire a l'avantage de la simplicite d'criture. Nous allons donc nous concentrer sur ce cas, qui permet de comprendre l'essentiel. [...]