Echantillonnage et transformée en Z

Résumé du document

La structure de commande en boucle fermée via un calculateur numérique est donnée par la figure 2. Cette méthodologie est caractérisée par le remplacement du correcteur analogique par un calculateur numérique (échange d'informations du procédé vers le calculateur et du calculateur vers le procédé).

1. Pour pouvoir fournir au calculateur des informations assimilables, une opération d'échantillonnage-numérisation de la sortie est nécessaire.
2. De la même manière, une opération de dénumérisation-reconstruction est nécessaire afin de pouvoir transformer les informations élaborées par le calculateur en grandeurs assimilables par les divers organes du procédé (actionneur, ...) (...)

Extraits

[...] La transformée en z d'une fonction peut être exprimée comme une fraction rationnelle en z ou en z-1. Par exemple la transformée en z de la rampe peut être donnée par: Te z Te z R ( z ) = ou R ( z ) = z ) 2. Par abus de notation, la transformée en z d'un signal échantillonnée ye(t) est notée: Z [ y ( t ) ] à la place de Z [ y e ( t ) ] Par abus de notation, un signal échantillonné est noté à la place de y(kTe). VII. [...]

[...] Echantillonnage et Transformée en z Echantillonnage et Transformée en z I. Introduction : Contexte Général L'objectif de l'automatique est de réduire ou de remplacer l'intervention humaine par celle d'un dispositif capable de piloter le procédé à commander en vue d'amener la sortie à suivre une trajectoire désirée. I.1. Commande analogique La commande analogique de procédés continus en boucle fermée nécessite les éléments montrés à la figure suivante. Ce sont : Perturbations correcteur analogique consigne + Sortie Actionneur procédé Capteur Fig : Structure d'une commande analogique en boucle fermée 1. [...]

[...] Propriétés de la transformation en z VIII.1.Linéarité a f + b = a Z[f ] + b VIII.2.Théorème de la valeur initiale y ( 0 ) = lim Y ( z ) = lim Y ( z ) z Exemple illustratif soit une fonction donnée par: z - = ( z ) = 1.2 z + 0.2 z z 1.2 z + y ( 0 ) = lim z z = lim = 1 z z 1.2 z + 1.2 z + 0.2 z VIII.3.Théorème de la valeur finale y ( ) = lim ( z 1 ) Y ( z ) = lim ( 1 z ) Y ( z ) z Exemple illustratif 1 y ( ) = lim = lim = 1.25 z 1 ( z 1 ) ( z 0.2 ) z 1 ( z 0.2 ) ou bien: y ( ) = lim z z ) 1 = 1.25 = lim z 1 ( 1 0.2 z ) ( 1 z ) ( 1 0.2 z ) VIII.4.Théorème du retard Z [ y e ( t nT e ) ] = z Z [ ye ( t ) ] Exemple illustratif Calculer la transformer en z de: y ( t ) = H ( t T e ) , donc: Y ( z ) = z z 1 VIII.5.Théorème de la dérivée dY ( z ) Z [ t y e ( t ) ] = T e z Exemple illustratif Calculer la transformée en z de: 11 Echantillonnage et Transformée en z aT e z aT e z 1 y ( t ) = a t H ( t ) donc : Y ( z ) = aT e z = = z ) VIII.6.Théorème de la multiplication par une exponentielle at e y(t = e aT e Calcul la transformée en z de y(t). Changement de la variable z par e aT e z. Exemple illustratif calculer la transformée en z de: = e at z 1 - = ( t ) donc: Y ( z ) = aT e 1 aT z e IX. Transformée en z inverse Le retour au signal original n'est pas toujours nécessaire. Toutefois, des techniques de recherche de l'original de doivent être connues. [...]

[...] Définition d'un BOZ Le BOZ maintient constante la valeur de l'échantillon y(kTe) sur tout l'intervalle de temps: [ kT ( k + 1 e ] ye(t) yb(t) 7 Echantillonnage et Transformée en z V.2. La réponse impulsionnelle du BOZ yb(t) ye(t) La réponse impulsionnelle d'un BOZ est la différence de deux échelons, décalés de Te. yb ( t ) = H ( t ) H ( t Te ) La fonction de transfert du BOZ est donnée par: p p e e ) 1 e e H BOZ ( p ) = = p p V.3. [...]

[...] L'effet de la numérisation (dénumérisation) peut être rendu très faible (utilisation des calculateurs modernes puissants). I.3. Remarque Puisque on peut négliger les conséquences de la numérisation (dénumérisation) : abus de notation Système échantillonné Système numérique 2 Echantillonnage et Transformée en z II. Echantillonnage Dans tous les cas, il faut choisir une période d'échantillonnage. II.1. Echantillonnage idéal II Principe L'échantillonneur idéal prélève la valeur d'un signal analogique toutes les Te secondes, où Te est appelée période d'échantillonnage. [...]