Arbres couvrants minimaux par l'algorithme de Prim

Thèmes abordés

Arbres couvrants minimaux, algorithme de Prim, théorie des graphes, Robert Clay Prim, arbre de recouvrement

Résumé du document

L'algorithme de Prim est un algorithme de la théorie des graphes qui trouve un arbre-recouvrement minimum pour un graphe connexe pondéré. Cela signifie qu'il trouve un sous-ensemble des bords qui forme un arbre qui comprend tous les sommets, où le poids total de tous les bords de l'arbre est minimisé. Le problème est que l'on trouve par Robert C. Prim. C'est une garantie pour produire un résultat correct.

Extraits

[...] En deux étapes : On montre que l'algorithme construit un arbre . On montre que cet arbre est de poids minimum . Etape 1 : arbre couvrant ( L'algorithme se termine lorsque l'ensemble des sommets du sous-graphe construit par l'algorithme est égal à l'ensemble des sommets du graphe de départ. (Soit ST l'ensemble des sommets du sous-graphe construit par l'algorithme de Prim, chaque nouvelle arête ajoutée appartient au co-cycle de ST , ainsi le sous-graphe construit ne contient aucun cycle et est connexe. [...]

[...] Analyse complexité La complexité de l'algorithme dépend fortement de la manière dont est implémenté le choix de l'arête/sommet à ajouter dans l'ensemble à chaque étape. Avec une représentation naïve, on obtient une complexité en A * S ) avec A le nombre d'arêtes et S le nombre de sommets. Si l'on utilise un tas min binaire, la complexité devient alors A * log S En utilisant un tas de Fibonacci, on peut encore descendre à A + S * log S Soit G = le graphe d'origine, avec S = et A = soit T = (ST ;AT ) l'arbre couvrant à chaque étape un sommet est ajouté à l'arbre, il y a exactement n - 1 étapes à chaque étape, le co-cycle de ST est mis à jour, c'est-à-dire qu'un nombre d'arêtes égal au degré - 1 du sommet ajouté sont examinées pour éventuellement être ajoutées au co-cycle. [...]

[...] Etape 2 : l'arbre de recouvrement est de poids minimum On opte pour une Preuve par induction. ( A l'étape l'arbre construit par l'algorithme de Prim T1 se réduit à un sommet et il existe un arbre couvrant de poids minimum qui contient cet arbre. ( Considérons l'arbre Ti construit par l'algorithme de Prim et contenant i sommets et supposons qu'il existe un arbre couvrant de poids minimum Tmin tel que Ti soit un sous-arbre de Tmin. ( A l'étape i + 1 l'algorithme de Prim ajoute une arête e = à Ti , le nouvel arbre est Ti+1. [...]

[...] Il n'est pas nécessaire, mais les vitesses jusqu'à l'exécution considérablement (par un facteur de int pred[100]; pred contient l'indice du noeud i devrait être liée à afin d'obtenir une distance de d void relacher(int u ) relacher (cible int) devrait être appelée immédiatement après cible est ajouté à l'arbre; mises à jour de sorte que les valeurs sont correctes (passe par la cible voisins de faire en sorte que les distances entre eux et l'arbre sont en effet au minimum)*/ { int for = i poids[u][i])) { = poids[u][i]; pred[i] = } } main() { int i,j,total,treeSize; printf("donner nbr de sommet\n"); printf("remplissage de matrice\n"); for = i min = Et ajoute le printf(" aret suivant pred[min] + min + acm[min] = total d[min]; relacher(min); } printf("La distance Total est : total); system("PAUSE"); return } Test : Revenons a notre exemple précédent page13 : CONCLUSION 1. Algorithme de Prim suit essentiellement technique algorithme glouton L'algorithme (goulûment) construit l'arbre couvrant minimum par itérativement l'ajout de nœuds dans une arborescence de travail 3. Complexité de l'algorithme de Prim pour le graphique avec matrice d'adjacence est O Pour les graphiques clairsemée, les tas de Fibonacci et tas binaire mise en œuvre de l'algorithme de Prim en O ( V LG V ) temps. [...]

[...] Introduction L'algorithme de Prim est un algorithme de la théorie des graphes qui trouve un arbre-recouvrement minimum pour un graphe connexe pondéré. Cela signifie qu'il trouve un sous-ensemble des bords qui forme un arbre qui comprend tous les sommets, où le poids total de tous les bords de l'arbre est minimisé. Le problème est que l'on trouve par Robert C. Prim. C'est une garantie pour produire un résultat correct. Robert Clay Prim Robert Clay Prim (né en 1921 à Sweetwater, Texas) est un mathématicien et scientifique américain ordinateur. [...]