Transformation de Laplace

Résumé du document

Ce chapitre est une présentation de la transformation de Laplace qui est un outil très important pour l'analyse et la maitrise des phénomènes transitoires. Cette transformation est utilisée principalement en automatique, discipline qui a pour objectif de maîtriser la réponse des systèmes ; et notamment de limiter l'amplitude et la durée de leurs régimes transitoires. Dans ce cadre, les signaux étudiés sont presque exclusivement causaux.

Extraits

[...] o TL d'une SIR (Suite d'Impulsions Rectangulaire) o TL d'une sinusoïde redressée 5. Utilisation de Matlab pour déterminer la TL des signaux temporels Nous pouvons utiliser la fonction de Matlab : laplace pour déterminer la TL des signaux temporels. Pour cela, au prompt de Matlab dans la fenêtre de command tapons : help laplace 16 ©Signaux et systèmes avec Matlab M.OULOBLY Stéphane R. II. Transformée Inverse et Décomposition en éléments simples Cette section est une continuation de la TL et présente différentes méthodes de détermination de la TL inverse. [...]

[...] Le résidu du second pôle répété est obtenu en dérivant l'équation par rapport à s et de même en calculant la limite pour comme suit : En général les résidus ) ] peuvent être obtenus de l'équation ( ) Dont la ième dérivation est ( [ ( [ Avec Exemple 4 Utiliser la méthode de d.e.s pour simplifier l'expression de suivante et déterminer son original Solution Nous voyons qu'il y a un pôle de multiplicité 2 à et donc à l'aide de le d-e-s de on a Les résidus sont : Finalement on a : Dont l'original est : Vérifions avec Matlab: syms s ft=ilaplace(Fs) ft = exp(-2*t)+2*t*exp(-t)-exp(-t) 22 ©Signaux et systèmes avec Matlab M.OULOBLY Stéphane R. Exemple 5 Utiliser la méthode de d-e-s pour simplifier l'expression de suivante et déterminer son original Solution Nous voyons qu'il y a un pôle de multiplicité 3 à La d-e-s donne : et un pôle de multiplicité 2 à Les résidus sont : Pour le deuxième pôle multiple on a : 23 ©Signaux et systèmes avec Matlab M.OULOBLY Stéphane R. Ainsi on a pour Enfin en utilisant le tableau des TL élémentaires et les propriétés on a 3. [...]

[...] Heureusement, pour la plupart des problèmes d'ingénierie nous pouvons utiliser la table des TL, les propriétés et la TL des signaux usuels pour déterminer la TL inverse Décomposition en Eléments Simples (D.E.S) Très souvent les expressions des TL ne sont pas facilement reconnaissables, mais dans la plupart des cas se présentent sous une forme rationnelle de comme ceci : , ou et sont des polynômes et on a ainsi : Les coefficients sont des nombres réels pour et si le degré de est inférieur à celui de ; on dit que est exprimée dans une fonction rationnelle propre. Si , est dit dans une forme impropre. Dans la forme rationnelle propre, les racines de se déterminent en posant = 0 ; on les appelle les zéros de X(s). De même les racines de se déterminent par l'équation = 0 et sont appelés pôles de X(s). Considérons dans la forme rationnelle propre. [...]

[...] Déterminer la TL inverse des signaux fréquentiels suivants : 2. Déterminer la TL inverse des signaux fréquentiels suivants : 3. Déterminer la TL inverse des signaux fréquentiels suivants : 4. Utiliser le théorème de la Valeur initiale pour déterminer la valeur à partir de la forme temporelle. Comparer le résultat avec l'exercice 3.c 5. Soit possédant 2 pôles distincts, un à s=0 et l'autre à s=-1. [...]

[...] o Pôles distincts Si tous les pôles sont distincts les uns des autres, nous pouvons factoriser le dénominateur comme suit : , ou les sont les pôles distincts. Ensuite en utilisant la D.E.S on obtient : ou les Pour évaluer les résidus ensuite on fait tendre sont les résidus, et les sont les pôles de on multiplie les deux membres de l'équation précédente par , soit : Exemple 1 : Utiliser la méthode de D.E.S pour simplifier l'expression de suivante et déterminer son original : Solution : La factorisation du dénominateur donne ou les résidus sont Ce qui nous donne l'expression : élémentaires donne l'original : qui grâce à la TL des signaux Les résidus et pôles d'un signal rationnel comme cet exemple peut-être déterminés en utilisant la fonction de Matlab residues(a,b). [...]