Processus stochastiques et modélisation

Résumé du document

L'origine des études sur les phénomènes d'attente remonte aux années 1909-1920 avec les travaux de A.K. Erlang concernant le réseau téléphonique de Copenhague. La théorie mathématiques s'est ensuite développée notamment grâce aux contributions de Palm, Kolmogorov, Khintchine, Pollaczek,... et fait actuellement toujours l'objet de nombreuses publications scientifiques. Cette théorie s'est ensuite étendue à de nombreux champs d'application comme la gestion de stocks, les télécommunications en général, la fiabilité de systèmes complexes,...

Extraits

[...] β Loi de Weibull : f = λβ(t t0 ) , IE(T ) = Γ(1 + β t0 . Loi gamma γ(λ, : f = λa a t e IE(T ) = . Γ(a) λ 79 Loi normale N σ 2 ) : f = 2σ IE(T ) = m. σ 2π (ln σ Loi log-normale : f = 2σ2 IE(T ) = em+ tσ 2π 7.2 Syst` emes non eparables eralit´ es On appelle syst`eme tout assemblage de composants, dont on suppose en g´en´eral (mais pas toujours que les pannes se produisent ind´ependamment les unes des autres. [...]

[...] Exemples : arriv´ees d'appels un central t´el´ephonique ; impacts de microm´et´eorites sur un satellite ; passage de v´ehicules un p´eage d'autoroute ; arriv´ees de clients un guichet, occurrence d'accidents dans une ville, pannes de machines dans une usine . De tels ph´enom`enes peuvent se d´efinir par la famille (An des temps d'arriv´ees qui sont des variables al´eatoires. Mais on peut aussi le faire partir du processus de comptage (Nt , ou par la famille (Tn des intervalles de temps entre deux arriv´ees. a l'instant t. Nt est le nombre d'´ev´enements apparus jusqu'` Nt+u Nu est le nombre d'´ev´enements apparus entre u et u + t. [...]

[...] Apr`es avoir accompli un certain nombre d'op´erations, ils quittent le syst`eme. De mˆeme que pour les files d'attente simples, u la file M/M/1 est la plus simple ´etudier, on s'int´eresse ici aux r´eseaux de files d'attente ouverts comportant : - une seule classe de clients ; - un processus d'arriv´ee des clients dans le syst`eme poissonien de taux λ, ind´ependant de n ; - un seul serveur chaque station ; - un temps de service exponentiel chaque station de taux µi , ind´ependant de n ; - une capacit´e de stockage illimit´ee toutes les stations ; - une discipline de service FIFO pour toutes les files ; Ces r´eseaux sont connus sous le nom de R´eseaux de Jackson ouverts > traduisait le fait que le temps moyen Pour la file la condition de stabilit´e λ µ entre deux arriv´ees devait ˆetre sup´erieur au temps moyen n´ecessaire au traitement d'un client. [...]

[...] Comme le temps d'interarriv´ee est distribu´e selon une e loi g´en´erale de densit´e de probabilit´e fT , la dur´ee s´eparant l'arriv´ee cons´ecutive de deux clients est ´egale ` at` a dt pr`es avec une probabilit´e fT dt. La matrice de la chaˆıne de Markov incluse est β1 β β2 β1 β0 P = β3 β2 β1 β4 β3 β2 . alors : β β1 β . En effet, si Nk = le ki`eme client a trouv´e en arrivant i clients dans le syst`eme. [...]

[...] σ est donc l'unique solution de l'´equation σ = (µ µσ). Il reste alors a ` d´eterminer l'expression de la constante K. La condition de normalisation des probabilit´es πn nous donne imm´ediatement K = 1 σ Pour calculer les probabilit´es stationnaires de la file il suffit donc de calculer la transform´ee de Laplace de la fonction densit´e de probabilit´e fT de la loi g´en´erale d'interarriv´ee et de r´esoudre l'´equation σ = (µ µσ). Notons que σ = 1 est toujours solution de cette ´equation (car la normalisation de fT implique que = 1). [...]